Inhoud
Integratie van functies is een van de kerntoepassingen van calculus. Soms is dit eenvoudig, zoals in:
F (x) = ∫ (x3 + 8) dx
In een relatief gecompliceerd voorbeeld van dit type kunt u een versie van de basisformule gebruiken voor het integreren van onbepaalde integralen:
∫ (xn + A) dx = x(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
waar A en C constanten zijn.
Dus voor dit voorbeeld
∫ x3 + 8 = x4/ 4 + 8x + C.
Integratie van basis vierkantswortelfuncties
Op het eerste gezicht is de integratie van een vierkantswortelfunctie lastig. U kunt bijvoorbeeld worden belemmerd door:
F (x) = ∫ √dx
Maar je kunt een vierkantswortel uitdrukken als een exponent, 1/2:
√ x3 = x3(1/2) = x(3/2)
De integraal wordt daarom:
∫ (x3/2 + 2x - 7) dx
waarop u de gebruikelijke formule van hierboven kunt toepassen:
= x(5/2)/ (5/2) + 2 (x2/ 2) - 7x
= (2/5) x(5/2) + x2 - 7x
Integratie van complexere vierkantswortelfuncties
Soms heb je meer dan één term onder het radicale teken, zoals in dit voorbeeld:
F (x) = ∫ dx
U kunt u-substitutie gebruiken om door te gaan. Hier stelt u u in op de hoeveelheid in de noemer:
u = √ (x - 3)
Los dit voor x op door beide zijden te kwadrateren en af te trekken:
u2 = x - 3
x = u2 + 3
Hiermee kun je dx in termen van u krijgen door de afgeleide van x te nemen:
dx = (2u) du
Vervanging terug in de oorspronkelijke integraal geeft
F (x) = ∫ (u2 + 3 + 1) / udu
= ∫du
= ∫ (2u2 + 8) du
Nu kunt u dit integreren met behulp van de basisformule en u uitdrukken in termen van x:
∫ (2u2 + 8) du = (2/3) u3 + 8u + C
= (2/3) 3 + 8 + C
= (2/3) (x - 3)(3/2) + 8 (x - 3)(1/2) + C