Inhoud
Zodra u begint met het oplossen van algebraïsche vergelijkingen waarbij veeltermen betrokken zijn, wordt het vermogen om speciale, gemakkelijk te verwerken vormen van veeltermen te herkennen erg nuttig. Een van de meest bruikbare "easy-factor" polynomen om te spotten is het perfecte vierkant, of het trinomiaal dat het resultaat is van het kwadrateren van een binomiaal. Als je eenmaal een perfect vierkant hebt geïdentificeerd, is het factoring in zijn individuele componenten vaak een essentieel onderdeel van het probleemoplossende proces.
Het identificeren van perfecte vierkante Trinomials
Voordat je een perfect vierkant trinomiaal kunt bepalen, moet je het leren herkennen. Een perfect vierkant kan twee vormen aannemen:
Enkele voorbeelden van perfecte vierkanten die u in de "echte wereld" van wiskundeproblemen kunt tegenkomen, zijn onder meer:
Wat is de sleutel tot het herkennen van deze perfecte vierkanten?
Controleer de eerste en derde voorwaarden van het trinomiaal. Zijn ze beide vierkanten? Zo ja, zoek uit waar het vierkanten van zijn. In het tweede voorbeeld uit de "echte wereld" hierboven, Y2 - 2_y_ + 1, de term Y2 is duidelijk het kwadraat van y. De term 1 is, misschien minder duidelijk, het kwadraat van 1, omdat 12 = 1.
Vermenigvuldig de wortels van de eerste en derde term samen. Om verder te gaan met het voorbeeld, dat is Y en 1, wat jou geeft Y × 1 = 1_y_ of eenvoudig Y.
Vermenigvuldig vervolgens uw product met 2. Ga verder met het voorbeeld en u hebt 2_y._
Vergelijk ten slotte het resultaat van de laatste stap met de middellange termijn van de polynoom. Komen ze overeen? In het polynoom Y2 - 2_y_ + 1, dat doen ze. (Het teken is niet relevant; het zou ook een match zijn als de middellange termijn + 2_y_ was.)
Omdat het antwoord in stap 1 "ja" was en je resultaat uit stap 2 overeenkomt met de middellange termijn van de veelterm, weet je dat je naar een perfecte vierkante trinomiaal kijkt.
Factoring van een perfect vierkant Trinomiaal
Als je eenmaal weet dat je naar een perfect vierkant trinomiaal kijkt, is het factoringproces vrij eenvoudig.
Identificeer de wortels, of de getallen in het kwadraat, in de eerste en derde term van het trinomiaal. Overweeg een ander voorbeeld van je trinomiaal waarvan je al weet dat het een perfect vierkant is, X2 + 8_x_ + 16. Het is duidelijk dat het getal dat wordt gekwadrateerd in de eerste term is X. Het getal dat wordt gekwadrateerd in de derde termijn is 4, omdat 42 = 16.
Denk terug aan de formules voor perfecte vierkante trinomials. Je weet dat je factoren de vorm aannemen (een + b)(een + b) of het formulier (een – b)(een – b), waar een en b zijn de getallen in het kwadraat in de eerste en derde term. Dus je kunt je factoren zo opschrijven en voorlopig de tekens in het midden van elke term weglaten:
(een ? b)(een ? b) = een2 ? 2_ab_ + b2
Om het voorbeeld voort te zetten door de wortels van je huidige trinomiaal te vervangen, heb je:
(X ? 4)(X ? 4) = X2 + 8_x_ + 16
Controleer de middellange termijn van het trinomiaal. Heeft het een positief teken of een negatief teken (of, om het anders te zeggen, wordt het toegevoegd of afgetrokken)? Als het een positief teken heeft (of wordt toegevoegd), hebben beide factoren van het trinomiaal een plusteken in het midden. Als het een negatief teken heeft (of wordt afgetrokken), hebben beide factoren een negatief teken in het midden.
De middellange termijn van het huidige voorbeeld trinomiaal is 8_x_ - het is positief - dus je hebt nu rekening gehouden met de perfecte vierkante trinomiaal:
(X + 4)(X + 4) = X2 + 8_x_ + 16
Controleer uw werk door de twee factoren samen te vermenigvuldigen. Het toepassen van de FOLIE of eerste, uiterlijke, innerlijke, laatste methode geeft u:
X2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Vereenvoudiging hiervan geeft het resultaat X2 + 8_x_ + 16, die overeenkomt met uw trinomiaal. Dus de factoren zijn correct.