Hoe eigenwaarden te berekenen

Inhoud

• Matrices, eigenwaarden en eigenvectoren: wat ze betekenen
• Hoe eigenwaarden te berekenen
• Tips
• Eigenvectoren vinden

Wanneer je een matrix in een wiskunde- of natuurkundeles wordt gepresenteerd, wordt je vaak gevraagd om de eigenwaarden te vinden. Als je niet zeker weet wat dat betekent of hoe je het moet doen, is de taak ontmoedigend en vereist het veel verwarrende terminologieën die de zaken nog erger maken. Het proces van het berekenen van eigenwaarden is echter niet zo uitdagend als u vertrouwd bent met het oplossen van kwadratische (of polynoom) vergelijkingen, op voorwaarde dat u de basis leert van matrices, eigenwaarden en eigenvectoren.

Matrices, eigenwaarden en eigenvectoren: wat ze betekenen

Matrices zijn getallenreeksen waarbij A staat voor de naam van een generieke matrix, zoals deze:

( 1 3 )

EEN = ( 4 2 )

De getallen in elke positie variëren, en er kunnen zelfs algebraïsche uitdrukkingen in hun plaats zijn. Dit is een 2 × 2-matrix, maar ze zijn er in verschillende groottes en hebben niet altijd hetzelfde aantal rijen en kolommen.

Het omgaan met matrices verschilt van het omgaan met gewone getallen en er zijn specifieke regels voor het vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken van elkaar. De termen "eigenwaarde" en "eigenvector" worden in matrixalgebra gebruikt om te verwijzen naar twee karakteristieke grootheden met betrekking tot de matrix. Dit probleem met de eigenwaarde helpt u te begrijpen wat de term betekent:

EEN ∙ v = λ ∙ v

EEN is een algemene matrix zoals eerder, v is een vector en λ is een karakteristieke waarde. Bekijk de vergelijking en merk op dat wanneer u de matrix vermenigvuldigt met de vector v, het effect is om dezelfde vector te reproduceren die zojuist is vermenigvuldigd met de waarde λ. Dit is ongebruikelijk gedrag en verdient de vector v en hoeveelheid λ speciale namen: de eigenvector en eigenwaarde. Dit zijn karakteristieke waarden van de matrix omdat het vermenigvuldigen van de matrix met de eigenvector de vector ongewijzigd laat, afgezien van vermenigvuldiging met een factor van de eigenwaarde.

Hoe eigenwaarden te berekenen

Als u het probleem met de eigenwaarde voor de matrix in een of andere vorm hebt, is het vinden van de eigenwaarde eenvoudig (omdat het resultaat een vector is die hetzelfde is als de originele, behalve vermenigvuldigd met een constante factor - de eigenwaarde). Het antwoord wordt gevonden door de karakteristieke vergelijking van de matrix op te lossen:

det (EEN – λik) = 0

Waar ik is de identiteitsmatrix, die leeg is afgezien van een reeks van 1's die schuin over de matrix lopen. "Det" verwijst naar de determinant van de matrix, die voor een algemene matrix:

(a b)

EEN = (c d)

Is gegeven door

det EEN = ad –bc

Dus de karakteristieke vergelijking betekent:

(a - λ b)

det (EEN – λik) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Laten we als voorbeeldmatrix definiëren EEN als:

( 0 1 )

EEN = (−2 −3 )

Dus dat betekent:

det (EEN – λik) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

De oplossingen voor λ zijn de eigenwaarden, en je lost dit op zoals elke kwadratische vergelijking. De oplossingen zijn λ = - 1 en λ = - 2.

Tips

Eigenvectoren vinden

Het vinden van de eigenvectoren is een soortgelijk proces. Met behulp van de vergelijking:

(EEN – λ) ∙ v = 0

met elk van de eigenwaarden die je om de beurt hebt gevonden. Dit betekent:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

(EEN – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

U kunt dit oplossen door elke rij om de beurt te overwegen. U hebt alleen de verhouding van nodig v₁ naar v₂, omdat er oneindig veel potentiële oplossingen voor zullen zijn v₁ en v₂.