Inhoud
- Inverse wiskundige bewerkingen
- Functies kunnen omgekeerd of direct zijn
- Twee functies kunnen een omgekeerde relatie tot elkaar hebben
Je kunt op drie manieren naar omgekeerde relaties in de wiskunde kijken. De eerste manier is om operaties te overwegen die elkaar opheffen. Optellen en aftrekken zijn de twee meest voor de hand liggende bewerkingen die zich op deze manier gedragen.
Een tweede manier om naar omgekeerde relaties te kijken, is om het type curven te overwegen dat ze produceren wanneer u relaties tussen twee variabelen grafiekt. Als de relatie tussen de variabelen direct is, neemt de afhankelijke variabele toe wanneer u de onafhankelijke variabele verhoogt, en de grafiek buigt in de richting van toenemende waarden van beide variabelen. Als de relatie echter omgekeerd is, wordt de afhankelijke variabele kleiner wanneer de onafhankelijke groter wordt, en de grafiek buigt naar kleinere waarden van de afhankelijke variabele.
Bepaalde paar functies bieden een derde voorbeeld van omgekeerde relaties. Wanneer u functies weergeeft die omgekeerd zijn ten opzichte van elkaar op een x-y-as, verschijnen de curven als spiegelbeelden van elkaar ten opzichte van de lijn x = y.
Inverse wiskundige bewerkingen
Optellen is de meest elementaire van rekenkundige bewerkingen, en het komt met een kwade tweeling - aftrekken - die ongedaan kan maken wat het doet. Laten we zeggen dat je begint met 5 en je 7 toevoegt. Je krijgt 12, maar als je 7 aftrekt, blijf je achter met de 5 waarmee je bent begonnen. Het omgekeerde van optellen is aftrekken, en het nettoresultaat van hetzelfde getal optellen en aftrekken is gelijk aan 0 optellen.
Een soortgelijke omgekeerde relatie bestaat tussen vermenigvuldiging en deling, maar er is een belangrijk verschil. Het nettoresultaat van het vermenigvuldigen en delen van een getal met dezelfde factor is het getal met 1 te vermenigvuldigen, waardoor het onveranderd blijft. Deze omgekeerde relatie is nuttig bij het vereenvoudigen van complexe algebraïsche uitdrukkingen en het oplossen van vergelijkingen.
Een ander paar inverse wiskundige bewerkingen is het verhogen van een getal naar een exponent "n" en het nemen van de nde wortel van het getal. De vierkante relatie is het gemakkelijkst te overwegen. Als je vierkant 2 krijgt, krijg je 4, en als je de vierkantswortel van 4 neemt, krijg je 2. Deze omgekeerde relatie is ook handig om te onthouden bij het oplossen van complexe vergelijkingen.
Functies kunnen omgekeerd of direct zijn
Een functie is een regel die één en slechts één resultaat oplevert voor elk getal dat u invoert. De reeks getallen die u invoert, wordt het domein van de functie genoemd en de reeks resultaten die de functie produceert, is het bereik. Als de functie direct is, produceert een domeinreeks van positieve getallen die groter worden, een bereikreeks van getallen die ook groter worden. F (x) = 2x + 2, f (x) = x2 en f (x) = √x zijn allemaal directe functies.
Een inverse functie gedraagt zich op een andere manier. Wanneer de nummers in het domein groter worden, worden de nummers in het bereik kleiner. F (x) = 1 / x is de eenvoudigste vorm van een inverse functie. Naarmate x groter wordt, komt f (x) steeds dichter bij 0. In principe is elke functie met de ingangsvariabele in de noemer van een breuk, en alleen in de noemer, een inverse functie. Andere voorbeelden zijn f (x) = n / x, waarbij n een willekeurig getal is, f (x) = n / √x en f (x) = n / (x + w) waarbij w een willekeurig geheel getal is.
Twee functies kunnen een omgekeerde relatie tot elkaar hebben
Een derde voorbeeld van een omgekeerde relatie in de wiskunde is een paar functies die omgekeerd zijn aan elkaar. Stel bijvoorbeeld dat u de cijfers 2, 3, 4 en 5 invoert in de functie y = 2x + 1.Je krijgt deze punten: (2,5), (3,7), (4,9) en (5,11). Dit is een rechte lijn met helling 2 en y-intercept 1.
Draai nu de cijfers tussen haakjes om om een nieuwe functie te maken: (5,2), (7,3), (9,4) en (11,5). Het bereik van de oorspronkelijke functie wordt het domein van de nieuwe functie en het domein van de oorspronkelijke functie wordt het bereik van de nieuwe functie. Het is ook een lijn, maar de helling is 1/2 en het y-intercept is -1/2. Met behulp van de y = mx + b vorm van een lijn, vind je de vergelijking van de lijn als y = (1/2) (x - 1). Dit is het omgekeerde van de oorspronkelijke functie. Je kunt het net zo gemakkelijk afleiden door x en y in de oorspronkelijke functie te schakelen en te vereenvoudigen om y aan de linkerkant van het gelijkteken te krijgen.