Inhoud
In de wiskunde ontstaat soms de behoefte om te bewijzen of functies in lineaire zin afhankelijk of onafhankelijk van elkaar zijn. Als u twee functies hebt die lineair afhankelijk zijn, resulteert een grafiek van de vergelijkingen van die functies in punten die elkaar overlappen. Functies met onafhankelijke vergelijkingen overlappen elkaar niet wanneer ze worden weergegeven. Een methode om te bepalen of functies afhankelijk of onafhankelijk zijn, is het berekenen van de Wronskian voor de functies.
Wat is een Wronskian?
De Wronskian van twee of meer functies is een zogenaamde determinant, een speciale functie die wordt gebruikt om wiskundige objecten te vergelijken en bepaalde feiten te bewijzen. In het geval van de Wronskian wordt de determinant gebruikt om afhankelijkheid of onafhankelijkheid tussen twee of meer lineaire functies te bewijzen.
De Wronskian Matrix
Om de Wronskian te berekenen voor lineaire functies, moeten de functies worden opgelost voor dezelfde waarde binnen een matrix die zowel de functies als hun afgeleiden bevat. Een voorbeeld hiervan is W (f, g) (t) = | ff((tt)) gg((tt)) |, die de Wronskian biedt voor twee functies (f en g) die worden opgelost voor een enkele waarde die groter is dan nul (t); u ziet de twee functies f (t) en g (t) in de bovenste rij van de matrix en de afgeleiden f (t) en g (t) in de onderste rij. Merk op dat de Wronskian ook voor grotere sets kan worden gebruikt. Als je bijvoorbeeld drie functies test met een Wronskian, dan kun je een matrix vullen met de functies en afgeleiden van f (t), g (t) en h (t).
Het oplossen van de Wronskian
Nadat u de functies in een matrix hebt gerangschikt, vermenigvuldigt u elke functie met de afgeleide van de andere functie en trekt u de eerste waarde af van de tweede. Voor het bovenstaande voorbeeld geeft dit u W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Als het uiteindelijke antwoord nul is, geeft dit aan dat de twee functies afhankelijk zijn. Als het antwoord iets anders is dan nul, zijn de functies onafhankelijk.
Wronskian-voorbeeld
Om u een beter idee te geven hoe dit werkt, neemt u aan dat f (t) = x + 3 en g (t) = x - 2. Met een waarde van t = 1 kunt u de functies oplossen als f (1) = 4 en g (1) = -1. Omdat dit lineaire basisfuncties zijn met een helling van 1, zijn de afgeleiden van zowel f (t) als g (t) gelijk aan 1. Cross-vermenigvuldigen van je waarden geeft aan W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), wat een eindresultaat van 5 oplevert. Hoewel de lineaire functies beide dezelfde helling hebben, zijn ze onafhankelijk omdat hun punten elkaar niet overlappen. Als f (t) een resultaat van -1 in plaats van 4 had geproduceerd, zou de Wronskian in plaats daarvan een resultaat van nul hebben gegeven om afhankelijkheid aan te geven.