Inhoud
- Bestellingen en factoren
- Permutaties met herhaling
- Permutaties zonder herhaling
- Combinaties zonder herhaling
- Combinaties met herhaling
Stel dat u n soorten items hebt en dat u een verzameling van r items wilt selecteren. Mogelijk willen we deze artikelen in een bepaalde volgorde. We noemen deze sets items permutaties. Als de bestelling er niet toe doet, noemen we de verzameling verzamelcombinaties. Voor zowel combinaties als permutaties kunt u het geval overwegen waarin u enkele van de n-typen meerdere keren kiest, wat met herhaling wordt genoemd, of het geval waarin u elk type slechts één keer kiest, wat geen herhaling wordt genoemd. Het doel is om het aantal mogelijke combinaties of permutaties in een bepaalde situatie te kunnen tellen.
Bestellingen en factoren
De faculteit wordt vaak gebruikt bij het berekenen van combinaties en permutaties. N! betekent N × (N – 1) × ... × 2 × 1. Bijvoorbeeld 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Het aantal manieren om een set items te bestellen is een factor. Neem de drie letters a, b en c. U hebt drie keuzes voor de eerste letter, twee voor de tweede en slechts één voor de derde. Met andere woorden, in totaal 3 × 2 × 1 = 6 bestellingen. Over het algemeen zijn er n! manieren om n items te bestellen.
Permutaties met herhaling
Stel dat je drie kamers hebt die je gaat schilderen, en elke kamer krijgt een van de vijf kleuren: rood (r), groen (g), blauw (b), geel (y) of oranje (o). Je kunt elke kleur zo vaak kiezen als je wilt. Je hebt vijf kleuren om uit te kiezen voor de eerste kamer, vijf voor de tweede en vijf voor de derde. Dit geeft in totaal 5 × 5 × 5 = 125 mogelijkheden. Over het algemeen is het aantal manieren om een groep r-items in een bepaalde volgorde te kiezen uit n herhaalbare keuzes n ^ r.
Permutaties zonder herhaling
Stel nu dat elke kamer een andere kleur krijgt. U kunt kiezen uit vijf kleuren voor de eerste kamer, vier voor de tweede en slechts drie voor de derde. Dit geeft 5 × 4 × 3 = 60, wat toevallig 5! / 2 !. Over het algemeen is het aantal onafhankelijke manieren om r-items in een bepaalde volgorde te selecteren uit n niet-herhaalbare keuzes n! / (N – r) !.
Combinaties zonder herhaling
Vergeet vervolgens welke kamer welke kleur heeft. Kies gewoon drie onafhankelijke kleuren voor het kleurenschema. De volgorde maakt hier niet uit, dus (rood, groen, blauw) is hetzelfde als (rood, blauw, groen). Voor elke keuze uit drie kleuren zijn er 3! manieren om ze te bestellen. Dus je vermindert het aantal permutaties met 3! om 5! / (2! × 3!) = 10 te krijgen. Over het algemeen kunt u een groep r-items in willekeurige volgorde kiezen uit een selectie van n niet-herhaalbare keuzes op n! /-manieren.
Combinaties met herhaling
Ten slotte moet u een kleurenschema maken waarin u elke kleur zo vaak als u wilt kunt gebruiken. Een slimme boekhoudcode helpt deze teltaak. Gebruik drie X's om de kamers weer te geven. Uw lijst met kleuren wordt weergegeven door rgbyo. Meng de X's in uw kleurenlijst en koppel elke X aan de eerste kleur links ervan. Bijvoorbeeld, rgXXbyXo betekent dat de eerste kamer groen is, de tweede groen en de derde geel. Een X moet ten minste één kleur links hebben, dus er zijn vijf beschikbare slots voor de eerste X. Omdat de lijst nu een X bevat, zijn er zes beschikbare slots voor de tweede X en zeven beschikbare slots voor de derde X. In alles, er zijn 5 × 6 × 7 = 7! / 4! manieren om de code te schrijven. De volgorde van de kamers is echter willekeurig, dus er zijn eigenlijk slechts 7! / (4! × 3!) Unieke arrangementen. Over het algemeen kunt u r-items in willekeurige volgorde kiezen uit n herhaalbare keuzes op (n + r – 1)! / Manieren.