Hoe het gebied van een Scalene-driehoek te vinden

Inhoud

• TL; DR (te lang; niet gelezen)
• Algemene formule voor het vinden van gebied
• Reigers formule
• De wet van Cosines gebruiken

In tegenstelling tot een gelijkzijdige driehoek met zijn drie gelijke zijden en hoeken, een gelijkbenige driehoek met zijn twee gelijke zijden, of een rechthoekige driehoek met zijn hoek van 90 graden, heeft een schalen-driehoek drie zijden van willekeurige lengtes en drie willekeurige hoeken. Als u het gebied wilt weten, moet u een aantal metingen uitvoeren. Als u de lengte van één zijde en de loodrechte afstand van die zijde tot de tegenovergestelde hoek kunt meten, hebt u voldoende informatie om het gebied te berekenen. Het is ook mogelijk om het gebied te berekenen als u de lengtes van alle drie de zijden kent. Door de waarde van een van de hoeken te bepalen, evenals de lengte van de twee zijden die het vormen, kunt u ook het gebied berekenen.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Het gebied van een scaleendriehoek met basis b en hoogte h wordt gegeven door 1/2 bh. Als u de lengte van alle drie de zijden kent, kunt u het gebied berekenen met Herons Formula zonder de hoogte te hoeven vinden. Als je de waarde van een hoek kent en de lengte van de twee zijden die deze vormen, kun je de lengte van de derde zijde vinden met behulp van de wet van Cosines en vervolgens Herons Formula gebruiken om het gebied te berekenen.

Algemene formule voor het vinden van gebied

Overweeg een willekeurige driehoek. Het is mogelijk om er een rechthoek omheen te schrijven die een van de zijkanten als basis gebruikt (het maakt niet uit welke) en net de top van de derde hoek raakt. De lengte van deze rechthoek is gelijk aan de lengte van de zijde van de driehoek die deze vormt, de basis (b) genoemd. De breedte is gelijk aan de loodrechte afstand van de basis tot de top, die hoogte (h) van de driehoek wordt genoemd.

Het gebied van de rechthoek die u zojuist hebt getekend, is gelijk aan b ⋅ h. Als je echter de lijnen van de driehoek onderzoekt, zie je dat ze het paar rechthoeken gecreëerd door de loodrechte lijn van de basis naar de top exact in twee delen. Het gebied binnen de driehoek is dus precies de helft van het gebied erbuiten, of 1/2 bh. Voor elke driehoek:

Oppervlakte = 1/2 basis ⋅ hoogte

Reigers formule

Wiskundigen weten hoe ze het gebied van een driehoek met drie bekende zijden millennia lang kunnen berekenen. Ze gebruiken Herons Formula, genoemd naar Hero of Alexandria. Om deze formule te gebruiken, moet je eerst de halve perimeter (s) van de driehoek vinden, wat je doet door alle drie de zijden toe te voegen en het resultaat door twee te delen. Voor een driehoek met zijden a, b en c is de halve omtrek s = 1/2 (a + b + c). Zodra u s kent, berekent u het gebied met behulp van deze formule:

Gebied = vierkantswortel

De wet van Cosines gebruiken

Beschouw een driehoek met drie hoeken A, B en C. De lengtes van de drie zijden zijn a, b en c. Kant a is tegenovergestelde hoek A, zijde b is tegenovergestelde hoek B, en zijde c is tegenovergestelde hoek C. Als je een van de hoeken kent - bijvoorbeeld hoek C - en de twee zijden die het vormen - in dit geval a en b - u kunt de lengte van de derde zijde berekenen met behulp van deze formule:

c² = a² + b² - 2ab cos (C)

Als u eenmaal de waarde van c weet, kunt u het gebied berekenen met Herons Formula.