Inhoud
De drie meest gebruikte methoden om vergelijkingssystemen op te lossen zijn substitutie, eliminatie en vergrote matrices. Vervanging en eliminatie zijn eenvoudige methoden die de meeste systemen van twee vergelijkingen effectief kunnen oplossen in een paar eenvoudige stappen. De methode van vergrote matrices vereist meer stappen, maar de toepassing ervan strekt zich uit tot een grotere verscheidenheid aan systemen.
vervanging
Substitutie is een methode om stelsels van vergelijkingen op te lossen door alle variabelen op één na te verwijderen in een van de vergelijkingen en die vergelijking vervolgens op te lossen. Dit wordt bereikt door de andere variabele in een vergelijking te isoleren en vervolgens waarden voor deze variabelen te vervangen in een andere vergelijking. Om bijvoorbeeld het stelsel van vergelijkingen x + y = 4, 2x - 3y = 3 op te lossen, isoleert u de variabele x in de eerste vergelijking om x = 4 - y te krijgen en vervangt u deze waarde van y in de tweede vergelijking om 2 te krijgen (4 - y) - 3y = 3. Deze vergelijking vereenvoudigt tot -5y = -5 of y = 1. Steek deze waarde in de tweede vergelijking om de waarde van x te vinden: x + 1 = 4 of x = 3.
Uitschakeling
Eliminatie is een andere manier om stelsels van vergelijkingen op te lossen door een van de vergelijkingen te herschrijven in termen van slechts één variabele. De eliminatiemethode bereikt dit door vergelijkingen van elkaar op te tellen of af te trekken om een van de variabelen te annuleren. Het toevoegen van de vergelijkingen x + 2y = 3 en 2x - 2y = 3 levert bijvoorbeeld een nieuwe vergelijking op, 3x = 6 (merk op dat de y-termen zijn geannuleerd). Het systeem wordt vervolgens opgelost met behulp van dezelfde methoden als voor vervanging. Als het onmogelijk is om de variabelen in de vergelijkingen te annuleren, moet de hele vergelijking worden vermenigvuldigd met een factor om de coëfficiënten op elkaar af te stemmen.
Augmented Matrix
Vergrote matrices kunnen ook worden gebruikt om stelsels van vergelijkingen op te lossen. De vergrote matrix bestaat uit rijen voor elke vergelijking, kolommen voor elke variabele en een vergrote kolom die de constante term aan de andere kant van de vergelijking bevat. Bijvoorbeeld, de vergrote matrix voor het stelsel vergelijkingen 2x + y = 4, 2x - y = 0 is, ...].
Bepaling van de oplossing
De volgende stap omvat het gebruik van elementaire rijbewerkingen zoals het vermenigvuldigen of delen van een rij met een andere constante dan nul en het optellen of aftrekken van rijen. Het doel van deze bewerkingen is om de matrix te converteren naar rij-echelonvorm, waarbij de eerste niet-nul invoer in elke rij een 1 is, invoeren boven en onder deze invoer alle nullen zijn, en de eerste niet-nul invoer voor elke rij rij staat altijd rechts van al dergelijke vermeldingen in de rijen erboven. Rij-echelonvorm voor de bovenstaande matrix is, ...]. De waarde van de eerste variabele wordt gegeven door de eerste rij (1x + 0y = 1 of x = 1). De waarde van de tweede variabele wordt gegeven door de tweede rij (0x + 1y = 2 of y = 2).
toepassingen
Vervanging en eliminatie zijn eenvoudiger methoden om vergelijkingen op te lossen en worden veel vaker gebruikt dan verbeterde matrices in basisalgebra. De substitutiemethode is vooral handig wanneer een van de variabelen al in een van de vergelijkingen is geïsoleerd. De eliminatiemethode is nuttig wanneer de coëfficiënt van een van de variabelen in alle vergelijkingen dezelfde is (of het negatieve equivalent ervan). Het primaire voordeel van augmented matrices is dat het kan worden gebruikt om systemen van drie of meer vergelijkingen op te lossen in situaties waarin substitutie en eliminatie onhaalbaar of onmogelijk zijn.