Inhoud
- Een systeem van vergelijkingen oplossen door vervanging
- Tips
- Een systeem van vergelijkingen oplossen door eliminatie
- Een systeem van vergelijkingen oplossen door middel van grafieken
Het oplossen van een systeem van gelijktijdige vergelijkingen lijkt in het begin een heel ontmoedigende taak. Met meer dan één onbekende hoeveelheid om de waarde voor te vinden, en blijkbaar heel weinig manier om de ene variabele van de andere te ontwarren, kan het een hoofdpijn zijn voor mensen die nieuw zijn bij algebra. Er zijn echter drie verschillende methoden om de oplossing voor de vergelijking te vinden, waarbij twee meer afhankelijk zijn van algebra en iets betrouwbaarder zijn, en de andere het systeem in een reeks lijnen in een grafiek verandert.
Een systeem van vergelijkingen oplossen door vervanging
Los een systeem van gelijktijdige vergelijkingen op door substitutie door eerst één variabele uit te drukken in termen van de andere. Met behulp van deze vergelijkingen als voorbeeld:
X – Y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
Schik de eenvoudigste vergelijking om mee te werken en gebruik deze om in de tweede in te voegen. In dit geval toevoegen Y aan beide zijden van de eerste vergelijking geeft:
X = Y + 5
Gebruik de uitdrukking voor X in de tweede vergelijking om een vergelijking met een enkele variabele te produceren. In het voorbeeld maakt dit de tweede vergelijking:
3 × (Y + 5) + 2_y_ = 5
3_y_ + 15 + 2_y_ = 5
Verzamel soortgelijke termen om te krijgen:
5_y_ + 15 = 5
Opnieuw regelen en oplossen voor Y, beginnend met 15 van beide kanten aftrekken:
5_y_ = 5 - 15 = −10
Beide kanten delen door 5 geeft:
Y = −10 ÷ 5 = −2
Zo Y = −2.
Voeg dit resultaat in een van beide vergelijkingen in om op te lossen voor de resterende variabele. Aan het einde van stap 1 ontdekte je dat:
X = Y + 5
Gebruik de waarde die je hebt gevonden Y krijgen:
X = −2 + 5 = 3
Zo X = 3 en Y = −2.
Tips
Een systeem van vergelijkingen oplossen door eliminatie
Bekijk uw vergelijkingen om een te verwijderen variabele te vinden:
X – Y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
In het voorbeeld ziet u dat één vergelijking heeft -Y en de andere heeft + 2_y_. Als u twee keer de eerste vergelijking toevoegt aan de tweede, de Y voorwaarden zouden annuleren en Y zou worden geëlimineerd. In andere gevallen (bijvoorbeeld als u wilde elimineren X), kunt u ook een veelvoud van de ene vergelijking van de andere aftrekken.
Vermenigvuldig de eerste vergelijking met twee om deze voor te bereiden op de eliminatiemethode:
2 × (X – Y) = 2 × 5
Zo
2_x_ - 2_y_ = 10
Elimineer uw gekozen variabele door de ene vergelijking van de andere toe te voegen of af te trekken. Voeg in het voorbeeld de nieuwe versie van de eerste vergelijking toe aan de tweede vergelijking om te krijgen:
3_x_ + 2_y_ + (2_x_ - 2_y_) = 5 + 10
3_x_ + 2_x_ + 2_y_ - 2_y_ = 15
Dit betekent dus:
5_x_ = 15
Los de resterende variabele op. Deel in het voorbeeld beide zijden door 5 om te krijgen:
X = 15 ÷ 5 = 3
Zoals eerder.
Net als in de vorige benadering, wanneer u één variabele hebt, kunt u deze in elke expressie invoegen en de tweede rangschikken. Met behulp van de tweede vergelijking:
3_x_ + 2_y_ = 5
Dus sindsdien X = 3:
3 × 3 + 2_y_ = 5
9 + 2_y_ = 5
Trek 9 van beide kanten af om:
2_y_ = 5 - 9 = −4
Deel tenslotte door twee om te krijgen:
Y = −4 ÷ 2 = −2
Een systeem van vergelijkingen oplossen door middel van grafieken
Los stelsels van vergelijkingen op met minimale algebra door elke vergelijking in kaart te brengen en te zoeken naar de X en Y waarde waar de lijnen elkaar kruisen. Converteer elke vergelijking naar een helling-onderscheppingsvorm (Y = mx + b) eerste.
De eerste voorbeeldvergelijking is:
X – Y = 5
Dit kan eenvoudig worden omgezet. Toevoegen Y naar beide kanten en trek vervolgens 5 van beide kanten af om:
Y = X – 5
Die een helling heeft van m = 1 en a Yonderscheppen van b = −5.
De tweede vergelijking is:
3_x_ + 2_y_ = 5
Trek 3_x_ van beide kanten af om:
2_y_ = −3_x_ + 5
Deel vervolgens door 2 om de helling-onderscheppingsvorm te krijgen:
Y = −3_x_ / 2 + 5/2
Dus dit heeft een helling van m = -3/2 en een Yonderscheppen van b = 5/2.
Gebruik de Y onderschep waarden en de hellingen om beide lijnen in een grafiek te plotten. De eerste vergelijking kruist de Y as om Y = −5 en de Y waarde stijgt met 1 telkens de X waarde stijgt met 1. Hierdoor is de lijn gemakkelijk te tekenen.
De tweede vergelijking kruist de Y as op 5/2 = 2.5. Het helt naar beneden, en de Y waarde daalt met 1,5 elke keer dat de X waarde stijgt met 1. U kunt de berekenen Y waarde voor elk punt op de X as met behulp van de vergelijking als het eenvoudiger is.
Zoek het punt waar de lijnen elkaar snijden. Dit geeft je beide X en Y coördinaten van de oplossing voor het stelsel vergelijkingen.