Hoe de wortels van een polynoom te vinden

Inhoud

• Hoeveel wortels?
• waarschuwingen
• Zoek wortels op basis van factoren: Voorbeeld 1
• Zoek wortels door factoring: Voorbeeld 2
• Zoek Roots door Graphing

De wortels van een polynoom worden ook zijn nullen genoemd, omdat de wortels de zijn X waarden waarbij de functie gelijk is aan nul. Als het gaat om het daadwerkelijk vinden van de wortels, heb je meerdere technieken tot je beschikking; factoring is de methode die u het meest gebruikt, hoewel grafieken ook nuttig kunnen zijn.

Hoeveel wortels?

Onderzoek de hoogste graadsterm van het polynoom - dat wil zeggen de term met de hoogste exponent. Die exponent is hoeveel wortels de polynoom zal hebben. Dus als de grootste exponent in je polynoom 2 is, heeft het twee wortels; als de hoogste exponent 3 is, heeft het drie wortels; enzovoort.

waarschuwingen

Zoek wortels op basis van factoren: Voorbeeld 1

De meest veelzijdige manier om wortels te vinden, is om zoveel mogelijk rekening te houden met uw polynoom en vervolgens elke term gelijk te stellen aan nul. Dit is veel logischer als je een paar voorbeelden hebt gevolgd. Overweeg de eenvoudige veelterm X² - 4_x: _

Een kort onderzoek laat zien dat je kunt factor X uit beide termen van de polynoom, die je geeft:

X(X – 4)

Stel elke term in op nul. Dat betekent het oplossen van twee vergelijkingen:

X = 0 is de eerste term ingesteld op nul, en

X - 4 = 0 is de tweede term ingesteld op nul.

U hebt al de oplossing voor de eerste termijn. Als X = 0, dan is de gehele uitdrukking gelijk aan nul. Zo X = 0 is een van de wortels of nullen van de polynoom.

Overweeg nu de tweede term en los op voor X. Als je 4 aan beide kanten toevoegt, heb je:

X - 4 + 4 = 0 + 4, wat vereenvoudigt om:

X = 4. Dus als X = 4 dan is de tweede factor gelijk aan nul, wat betekent dat de gehele polynoom ook nul is.

Omdat het oorspronkelijke polynoom van de tweede graad was (de grootste exponent was twee), weet je dat er slechts twee mogelijke wortels zijn voor dit polynoom. Je hebt ze al allebei gevonden, dus je hoeft ze alleen maar te vermelden:

X = 0, X = 4

Zoek wortels door factoring: Voorbeeld 2

Hier is nog een voorbeeld van hoe je wortels kunt vinden door factoring, met behulp van een aantal mooie algebra onderweg. Overweeg het polynoom X⁴ - 16. Een snelle blik op de exponenten laat zien dat er vier wortels moeten zijn voor deze polynoom; nu is het tijd om ze te vinden.

Is het je opgevallen dat deze polynoom herschreven kan worden als het verschil van vierkanten? Dus in plaats van X⁴ - 16, je hebt:

(X²)² – 4²

Welke, met behulp van de formule voor het verschil van vierkanten, factoren in het volgende:

(X² – 4)(X² + 4)

De eerste term is opnieuw een verschil van vierkanten. Dus hoewel je de term aan de rechterkant niet verder kunt factoreren, kun je de term aan de linkerkant nog een stap meer factor:

(X – 2)(X + 2)(X² + 4)

Nu is het tijd om de nullen te vinden. Al snel wordt duidelijk dat als X = 2, de eerste factor is gelijk aan nul, en dus is de hele uitdrukking gelijk aan nul.

Evenzo als X = -2, de tweede factor is gelijk aan nul en dus ook de hele uitdrukking.

Zo X = 2 en X = -2 zijn beide nullen of wortels van deze polynoom.

Maar hoe zit het met die laatste termijn? Omdat het een "2" exponent heeft, zou het twee wortels moeten hebben. Maar je kunt deze uitdrukking niet factoreren met de echte getallen die je gewend bent. Je moet een zeer geavanceerd wiskundig concept gebruiken, denkbeeldige getallen of, als je dat wilt, complexe getallen. Dat is ver buiten het bereik van je huidige wiskundepraktijk, dus voorlopig is het genoeg om op te merken dat je twee echte wortels (2 en -2) hebt, en twee denkbeeldige wortels die je ongedefinieerd laat.

Zoek Roots door Graphing

U kunt ook wortels vinden, of op zijn minst schatten door middel van grafieken. Elke wortel vertegenwoordigt een plek waar de grafiek van de functie de kruist X as. Dus als je de lijn uitzet en dan let op de X coördinaten waar de lijn de kruist X as, kunt u de geschatte waarde invoegen X waarden van die punten in je vergelijking en controleer of je ze correct hebt gekregen.

Overweeg het eerste voorbeeld dat u hebt gewerkt, voor de polynoom X² - 4_x_. Als je het voorzichtig tekent, zie je dat de lijn de kruising overschrijdt X as om X = 0 en X = 4. Als u elk van deze waarden in de oorspronkelijke vergelijking invoert, krijgt u:

0² - 4 (0) = 0, dus X = 0 was een geldige nul of root voor deze polynoom.

4² - 4 (4) = 0, dus X = 4 is ook een geldige nul of root voor deze polynoom. En omdat de polynoom van graad 2 was, weet je dat je kunt stoppen met zoeken nadat je twee wortels hebt gevonden.