Inhoud
- TL; DR (te lang; niet gelezen)
- Cofunction-identiteiten in graden:
- Gezamenlijke identiteiten bij radialen
- Cofunction Identiteiten Bewijs
- Cofunction Calculator
Ooit afgevraagd hoe trigonometrische functies zoals sinus en cosinus gerelateerd zijn? Ze worden beide gebruikt voor het berekenen van zijden en hoeken in driehoeken, maar de relatie gaat verder dan dat. Cofunction identiteiten geef ons specifieke formules die laten zien hoe te converteren tussen sinus en cosinus, tangens en cotangent, en secant en cosecant.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
De sinus van een hoek is gelijk aan de cosinus van zijn complement en vice versa. Dit geldt ook voor andere cofuncties.
Een gemakkelijke manier om te onthouden welke functies cofuncties zijn, is dat er twee trig-functies zijn cofunctions als een van hen het "co-" voorvoegsel ervoor heeft. Zo:
We kunnen heen en weer berekenen tussen cofuncties met behulp van deze definitie: De waarde van een hoekfunctie is gelijk aan de waarde van de co-functie van het complement.
Dat klinkt ingewikkeld, maar laten we in plaats van over de waarde van een functie in het algemeen een specifiek voorbeeld te gebruiken. De sinus van een hoek is gelijk aan de cosinus van zijn complement. En hetzelfde geldt voor andere cofuncties: de tangens van een hoek is gelijk aan de cotangens van zijn complement.
Onthoud: er zijn twee hoeken complementen als ze tot 90 graden optellen.
Cofunction-identiteiten in graden:
(Merk op dat 90 ° - x ons een hoekcomplement geeft.)
sin (x) = cos (90 ° - x)
cos (x) = sin (90 ° - x)
tan (x) = kinderbed (90 ° - x)
kinderbed (x) = bruin (90 ° - x)
sec (x) = csc (90 ° - x)
csc (x) = sec (90 ° - x)
Gezamenlijke identiteiten bij radialen
Vergeet niet dat we ook dingen kunnen schrijven in termen van radialen, wat de SI-eenheid is voor het meten van hoeken. Negentig graden is hetzelfde als π / 2 radialen, dus we kunnen ook de cofunction-identiteiten als volgt schrijven:
sin (x) = cos (π / 2 - x)
cos (x) = sin (π / 2 - x)
tan (x) = kinderbed (π / 2 - x)
cot (x) = tan (π / 2 - x)
sec (x) = csc (π / 2 - x)
csc (x) = sec (π / 2 - x)
Cofunction Identiteiten Bewijs
Dit klinkt allemaal leuk, maar hoe kunnen we bewijzen dat dit waar is? Als je het zelf uitprobeert op een paar voorbeelddriehoeken, kun je er meer vertrouwen in hebben, maar er is ook een meer rigoureus bewijs. Laten we de co-functionele identiteiten voor sinus en cosinus bewijzen. Gingen in radialen te werken, maar het is hetzelfde als graden gebruiken.
Bewijs: sin (x) = cos (π / 2 - x)
Allereerst, reik ver terug in je geheugen naar deze formule, want we zouden het gebruiken als bewijs:
cos (A - B) = cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B)
Begrepen? OK. Laten we nu bewijzen: sin (x) = cos (π / 2 - x).
We kunnen cos (π / 2 - x) als volgt herschrijven:
cos (π / 2 - x) = cos (π / 2) cos (x) + sin (π / 2) sin (x)
cos (π / 2 - x) = 0 cos (x) + 1 sin (x), omdat we cos (π / 2) = 0 en sin (π / 2) = 1 kennen.
cos (π / 2 - x) = sin (x).
Ta-da! Laten we het nu met cosinus bewijzen!
Bewijs: cos (x) = sin (π / 2 - x)
Nog een explosie uit het verleden: onthoud deze formule?
sin (A - B) = sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B).
We stonden op het punt het te gebruiken. Laten we nu bewijzen: cos (x) = sin (π / 2 - x).
We kunnen sin (π / 2 - x) als volgt herschrijven:
sin (π / 2 - x) = sin (π / 2) cos (x) - cos (π / 2) sin (x)
sin (π / 2 - x) = 1 cos (x) - 0 sin (x), omdat we sin (π / 2) = 1 en cos (π / 2) = 0 kennen.
sin (π / 2 - x) = cos (x).
Cofunction Calculator
Probeer een paar voorbeelden om zelf met cofuncties te werken. Maar als je vastloopt, heeft Math Celebrity een cofunctiecalculator die stapsgewijze oplossingen voor cofunctieproblemen toont.
Veel rekenplezier!