Inhoud
- The Super Bowl Math Problem
- Een oplossing vinden (de langzame manier)
- De algebraïsche oplossing
- The Chicken McNugget Problem
Met de Super Bowl net om de hoek, hebben atleten en fans van de wereld hun focus stevig gericht op het grote spel. Maar voor _math_letes kan de grote game me een klein probleem doen denken met betrekking tot de mogelijke scores in een voetbalwedstrijd. Met slechts beperkte opties voor het aantal punten dat u kunt scoren, kunnen sommige totalen eenvoudig niet worden bereikt, maar wat is het hoogste? Als je wilt weten wat munten, voetbal en kipnuggets van McDonald's verbindt, is dit een probleem voor jou.
The Super Bowl Math Problem
Het probleem betreft de mogelijke scores die de Los Angeles Rams of de New England Patriots mogelijk op zondag zouden kunnen behalen zonder een veiligheid of een tweepuntsconversie. Met andere woorden, de toelaatbare manieren om hun scores te verhogen zijn 3-punts velddoelen en 7-punts touchdowns. Dus, zonder beveiligingen, kun je geen score van 2 punten behalen in een spel met een combinatie van 3s en 7s. Op dezelfde manier kun je ook geen score van 4 behalen, en ook geen 5.
De vraag is: Wat is de hoogste score die kan niet worden bereikt met slechts 3-punts velddoelen en 7-punts touchdowns?
Natuurlijk zijn touchdowns zonder conversie 6 waard, maar aangezien je dat toch met twee velddoelen kunt bereiken, maakt het niet uit voor het probleem. Omdat we hier met wiskunde te maken hebben, hoeft u zich ook geen zorgen te maken over de tactiek van het specifieke team of zelfs over eventuele beperkingen op hun vermogen om punten te scoren.
Probeer dit zelf op te lossen voordat je verder gaat!
Een oplossing vinden (de langzame manier)
Dit probleem heeft een aantal complexe wiskundige oplossingen (zie bronnen voor volledige details, maar het belangrijkste resultaat wordt hieronder geïntroduceerd), maar het is een goed voorbeeld van hoe dit niet is nodig zijn om het antwoord te vinden.
Het enige wat u hoeft te doen om een brute-force oplossing te vinden, is om elk van de scores om de beurt te proberen. We weten dus dat je niet 1 of 2 kunt scoren, omdat ze minder dan 3 zijn. We hebben al vastgesteld dat 4 en 5 niet mogelijk zijn, maar 6 wel, met twee velddoelen. Kun je na 7 (wat mogelijk is) 8 scoren? Nee. Drie velddoelen geeft 9, en een velddoel en een geconverteerde touchdown maakt 10. Maar je kunt geen 11 krijgen.
Vanaf dit punt laat een beetje werk zien dat:
begin {uitgelijnd} 3 × 4 & = 12 7 + (3 × 2) & = 13 7 × 2 & = 14 3 × 5 & = 15 7 + (3 × 3) & = 16 (7 × 2) + 3 & = 17 end {uitgelijnd}En eigenlijk kun je zo lang doorgaan als je wilt. Het antwoord lijkt 11. Maar is het?
De algebraïsche oplossing
Wiskundigen noemen deze problemen "Frobenius-muntproblemen." hoeveelheid geld die u niet kon produceren.
De oplossing, in termen van algebra, is die met één score waard p punten en één score waard q punten, de hoogste score die u niet kunt behalen (N) is gegeven door:
N = pq ; - ; (p + q)Dus het aansluiten van de waarden uit het probleem van de Super Bowl geeft:
begin {uitgelijnd} N & = 3 × 7 ; - ; (3 + 7) & = 21 ; - ; 10 & = 11 end {uitgelijnd}Dat is het antwoord dat we op de langzame manier hebben gekregen. Dus wat als u alleen touchdowns zonder conversie (6 punten) en touchdowns met éénpuntconversie (7 punten) kon scoren? Kijk of je de formule kunt gebruiken om het uit te werken voordat je verder leest.
In dit geval wordt de formule:
begin {uitgelijnd} N & = 6 × 7 ; - ; (6 + 7) & = 42 ; - ; 13 & = 29 end {uitgelijnd}The Chicken McNugget Problem
Dus het spel is afgelopen en je wilt het winnende team belonen met een reis naar McDonalds. Maar ze verkopen alleen McNuggets in dozen van 9 of 20. Dus wat is het hoogste aantal nuggets voor jou kan niet kopen met deze (verouderde) boxnummers? Probeer de formule te gebruiken om het antwoord te vinden voordat je verder leest.
Sinds
N = pq ; - ; (p + q)En met p = 9 en q = 20:
begin {uitgelijnd} N & = 9 × 20 ; - ; (9 + 20) & = 180 ; - ; 29 & = 151 end {uitgelijnd}Dus op voorwaarde dat je meer dan 151 klompjes kocht - het winnende team zal tenslotte waarschijnlijk behoorlijk honger hebben - je zou een willekeurig aantal klompjes kunnen kopen met een dooscombinatie.
Je vraagt je misschien af waarom we alleen twee-nummerversies van dit probleem hebben behandeld. Wat als we beveiligingen zouden inbouwen, of als McDonalds drie maten nugget boxes verkocht? Er is geen duidelijke formule in dit geval, en hoewel de meeste versies ervan kunnen worden opgelost, zijn sommige aspecten van de vraag volledig onopgelost.
Dus misschien kun je tijdens het kijken naar het spel of het eten van hapklare stukjes kip beweren dat je probeert een open probleem in de wiskunde op te lossen - het is het proberen waard om uit klusjes te komen!