Hoe een exponentiële vergelijking met twee punten te vinden

Inhoud

• Waarom exponentiële functies belangrijk zijn
• Van een paar punten tot een grafiek
• Eén punt op de X-as
• Geen van beide punten op de X-as
• Een voorbeeld uit de echte wereld

Als u twee punten kent die op een bepaalde exponentiële curve vallen, kunt u de curve definiëren door de algemene exponentiële functie op te lossen met behulp van die punten. In de praktijk betekent dit het vervangen van de punten voor y en x in de vergelijking y = ab^X. De procedure is eenvoudiger als de x-waarde voor een van de punten 0 is, wat betekent dat het punt zich op de y-as bevindt. Als geen van beide punten een x-waarde nul heeft, is het proces voor het oplossen van x en y iets ingewikkelder.

Waarom exponentiële functies belangrijk zijn

Veel belangrijke systemen volgen exponentiële groei- en vervalpatronen. Het aantal bacteriën in een kolonie neemt bijvoorbeeld meestal exponentieel toe en omgevingsstraling in de atmosfeer na een nucleaire gebeurtenis neemt meestal exponentieel af. Door gegevens te verzamelen en een curve te plotten, zijn wetenschappers in een betere positie om voorspellingen te doen.

Van een paar punten tot een grafiek

Elk punt op een tweedimensionale grafiek kan worden weergegeven door twee getallen, die meestal worden geschreven in de vorm (x, y), waarbij x de horizontale afstand vanaf de oorsprong definieert en y de verticale afstand vertegenwoordigt. Het punt (2, 3) is bijvoorbeeld twee eenheden rechts van de y-as en drie eenheden boven de x-as. Aan de andere kant is het punt (-2, -3) twee eenheden links van de y-as. en drie eenheden onder de x-as.

Als u twee punten heeft, (x₁, y₁) en (x₂, y₂), kunt u de exponentiële functie definiëren die door deze punten gaat door ze te substitueren in de vergelijking y = ab^X en oplossen voor a en b. Over het algemeen moet u dit paar vergelijkingen oplossen:

Y₁ = ab^x1 en y₂ = ab^x2, .

In deze vorm lijkt de wiskunde een beetje ingewikkeld, maar het ziet er minder uit dus nadat je een paar voorbeelden hebt gedaan.

Eén punt op de X-as

Als een van de x-waarden - zeg x₁ - is 0, de bewerking wordt heel eenvoudig. Het oplossen van de vergelijking voor de punten (0, 2) en (2, 4) levert bijvoorbeeld:

2 = ab⁰ en 4 = ab². Omdat we dat weten b⁰ = 1, de eerste vergelijking wordt 2 = a. Vervanging van a in de tweede vergelijking levert 4 = 2b op², die we vereenvoudigen tot b² = 2, of b = vierkantswortel van 2, wat overeenkomt met ongeveer 1,41. De bepalende functie is dan y = 2 (1.41)^X.

Geen van beide punten op de X-as

Als geen van beide x-waarden nul is, is het oplossen van het paar vergelijkingen iets omslachtiger. Henochmath leidt ons door een eenvoudig voorbeeld om deze procedure te verduidelijken. In zijn voorbeeld koos hij het paar punten (2, 3) en (4, 27). Dit levert het volgende paar vergelijkingen op:

27 = ab⁴

3 = ab²

Als je de eerste vergelijking door de tweede deelt, krijg je

9 = b²

dus b = 3. Het is mogelijk dat b ook gelijk is aan -3, maar neem in dit geval aan dat het positief is.

U kunt deze waarde in beide vergelijkingen vervangen door b om a te krijgen. Het is gemakkelijker om de tweede vergelijking te gebruiken, dus:

3 = a (3)² die kan worden vereenvoudigd tot 3 = a9, a = 3/9 of 1/3.

De vergelijking die door deze punten gaat, kan worden geschreven als y = 1/3 (3)^X.

Een voorbeeld uit de echte wereld

Sinds 1910 is de groei van de menselijke bevolking exponentieel, en door een groeicurve te plotten, zijn wetenschappers beter in staat om de toekomst te voorspellen en te plannen. In 1910 was de wereldbevolking 1,75 miljard en in 2010 was dit 6,87 miljard. Uitgaande van 1910 als uitgangspunt, geeft dit het paar punten (0, 1,75) en (100, 6,87). Omdat de x-waarde van het eerste punt nul is, kunnen we gemakkelijk een vinden.

1,75 = ab⁰ of a = 1,75. Deze waarde, samen met die van het tweede punt, aansluiten op de algemene exponentiële vergelijking levert 6,87 = 1,75b op¹⁰⁰, die de waarde van b geeft als de honderdste wortel van 6.87 / 1.75 of 3.93. Dus de vergelijking wordt y = 1,75 (honderdste wortel van 3,93)^X. Hoewel het meer dan een rekenregel vereist om het te doen, kunnen wetenschappers deze vergelijking gebruiken om toekomstige bevolkingsaantallen te projecteren om politici in het heden te helpen het juiste beleid te maken.