Inhoud
Veranderingen komen overal in de wetenschap voor, en vooral in de natuurkunde door hoeveelheden zoals snelheid en versnelling. Derivaten beschrijven de mate van verandering van de ene hoeveelheid ten opzichte van de andere wiskundig, maar het berekenen ervan kan soms ingewikkeld zijn en u krijgt mogelijk een grafiek te zien in plaats van een functie in de vorm van een vergelijking. Als u een grafiek van een curve krijgt en de afgeleide ervan moet vinden, is het mogelijk dat u niet zo nauwkeurig kunt zijn als bij een vergelijking, maar u kunt eenvoudig een solide schatting maken.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Kies een punt in de grafiek om de waarde van de afgeleide te vinden op.
Trek op dit punt een rechte lijn die de curve van de grafiek raakt.
Neem de helling van deze lijn om de waarde van de afgeleide te vinden op het door u gekozen punt in de grafiek.
Wat is een derivaat?
Buiten de abstracte setting om een vergelijking te differentiëren, kun je een beetje in de war raken over wat een derivaat echt is. In algebra is een afgeleide van een functie een vergelijking die u op elk punt de waarde van de "helling" van de functie vertelt. Met andere woorden, het vertelt u hoeveel de ene hoeveelheid verandert bij een kleine verandering in de andere. In een grafiek geeft het verloop of de helling van de lijn aan hoeveel de afhankelijke variabele (geplaatst op de Y-as) verandert met de onafhankelijke variabele (op de X-as).
Voor lineaire grafieken bepaalt u de (constante) veranderingssnelheid door de helling van de grafiek te berekenen. Relaties beschreven door curven zijn niet zo gemakkelijk om mee om te gaan, maar het principe dat de afgeleide alleen maar de helling (op dat specifieke punt) betekent, geldt nog steeds.
Voor relaties die door curven worden beschreven, heeft de afgeleide op elk punt van de curve een andere waarde. Om de afgeleide van de grafiek te schatten, moet u een punt kiezen om de afgeleide op te nemen. Als u bijvoorbeeld een grafiek hebt die de afgelegde afstand tegen de tijd weergeeft, op een rechte lijn, geeft de helling u de constante snelheid aan. Voor snelheden die met de tijd veranderen, zou de grafiek een curve zijn, maar een rechte lijn die de curve op één punt raakt (een lijn tangentieel aan de curve) vertegenwoordigt de mate van verandering op dat specifieke punt.
Kies een plek waar je de afgeleide moet kennen. Gebruik het voorbeeld van de afgelegde afstand versus de tijd en selecteer het tijdstip waarop u de reissnelheid wilt weten. Als u de snelheid op verschillende punten moet weten, kunt u dit proces voor elk afzonderlijk punt doorlopen. Als je de snelheid 15 seconden na het begin van de beweging wilt weten, kies dan de plek op de curve op 15 seconden op de X-as.
Trek een lijn tangentieel aan de curve op het punt waarin u geïnteresseerd bent. Neem de tijd om dit te doen, omdat dit het belangrijkste en meest uitdagende deel van het proces is. Uw schatting is beter als u een nauwkeurigere raaklijn trekt. Houd een liniaal tegen het punt op de curve en pas de oriëntatie ervan aan, zodat de lijn die u trekt enkel en alleen raak de curve aan op het enkele punt waarin u geïnteresseerd bent.
Teken uw lijn zo lang als de grafiek toelaat. Zorg ervoor dat u gemakkelijk twee waarden kunt lezen voor beide X en Y coördinaten, één nabij het begin van uw lijn en één nabij het einde. U hoeft absoluut geen lange lijn te trekken (technisch gezien is elke rechte lijn geschikt), maar langere lijnen zijn meestal gemakkelijker om de helling te meten.
Zoek twee plaatsen op uw lijn en noteer de X en Y coördinaten voor hen. Stel je bijvoorbeeld je raaklijn voor als twee opvallende plekken op X = 1, Y = 3 en X = 10, Y = 30, die u Punt 1 en Punt 2 kunt noemen. Gebruik van de symbolen X1 en Y1 om de coördinaten van het eerste punt te vertegenwoordigen en X2 en Y2 om de coördinaten van het tweede punt, de helling, weer te geven m is gegeven door:
m = (Y2 - j1) ÷ (X2 – X1)
Dit vertelt u de afgeleide van de curve op het punt waar de lijn de curve raakt. In het voorbeeld X1 = 1, X2 = 10, Y1 = 3 en Y2 = 30, dus:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
In het voorbeeld zou dit resultaat de snelheid op het gekozen punt zijn. Dus als de X-as werd gemeten in seconden en de Y-as werd gemeten in meters, het resultaat zou betekenen dat het voertuig in kwestie met 3 meter per seconde reed. Ongeacht de specifieke hoeveelheid die u berekent, is het proces van het schatten van de afgeleide hetzelfde.