Inhoud
- Definitie van absolute waardeverschillen
- Hoe een absolute waarde-ongelijkheid op te lossen
- Absolute waardeverschillen zonder oplossing
- Interval notatie
Het oplossen van ongelijkheden in absolute waarden lijkt veel op het oplossen van absolute waardevergelijkingen, maar er zijn een paar extra details om in gedachten te houden. Het helpt om al comfortabel absolute waardevergelijkingen op te lossen, maar het is prima als je ze ook samen leert!
Definitie van absolute waardeverschillen
Allereerst een absolute waarde ongelijkheid is een ongelijkheid die een uitdrukking van absolute waarde inhoudt. Bijvoorbeeld,
| 5 + X | - 10> 6 is een absolute waarde-ongelijkheid omdat het een ongelijkheidsteken heeft,>, en een absolute waarde-uitdrukking, | 5 + X |.
Hoe een absolute waarde-ongelijkheid op te lossen
De stappen om een absolute waardegelijkheid op te lossen lijken veel op de stappen om een absolute waardevergelijking op te lossen:
Stap 1: Isoleer de absolute waarde-expressie aan één kant van de ongelijkheid.
Stap 2: Los de positieve "versie" van de ongelijkheid op.
Stap 3: Los de negatieve "versie" van de ongelijkheid op door de hoeveelheid aan de andere kant van de ongelijkheid te vermenigvuldigen met -1 en het ongelijkheidsteken om te keren.
Dat is veel om in één keer in te nemen, dus hier is een voorbeeld dat je door de stappen zal leiden.
Los de ongelijkheid voor op X: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Om dit te doen, krijg | 5 + 5_x_ | op zichzelf aan de linkerkant van de ongelijkheid. Het enige wat u hoeft te doen is 3 aan elke kant toevoegen:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Nu zijn er twee "versies" van de ongelijkheid die we moeten oplossen: de positieve "versie" en de negatieve "versie".
Ga er voor deze stap van uit dat de dingen zijn zoals ze eruit zien: die 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Dit is een eenvoudige ongelijkheid; je moet het gewoon oplossen X zoals gewoonlijk. Trek 5 van beide kanten af en deel beide kanten door 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (vijf van beide kanten aftrekken)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (deel beide zijden door vijf)
X > 0.
Niet slecht! Dus een mogelijke oplossing voor onze ongelijkheid is dat X > 0. Nu, aangezien er absolute waarden bij betrokken zijn, is het tijd om een andere mogelijkheid te overwegen.
Om dit volgende stukje te begrijpen, helpt het om te onthouden wat absolute waarde betekent. Absolute waarde meet een getallenafstand vanaf nul. Afstand is altijd positief, dus 9 is negen eenheden verwijderd van nul, maar −9 is ook negen eenheden verwijderd van nul.
Dus | 9 | = 9, maar | −9 | = 9 ook.
Nu terug naar het bovenstaande probleem. Uit het bovenstaande werk bleek dat | 5 + 5_x_ | > 5; met andere woorden, de absolute waarde van "iets" is groter dan vijf. Nu zal elk positief getal groter dan vijf verder weg van nul zijn dan vijf. Dus de eerste optie was dat "iets", 5 + 5_x_, groter is dan 5.
Dat is: 5 + 5_x_> 5.
Dat is het scenario dat hierboven in stap 2 is aangepakt.
Denk nu eens wat verder. Wat is nog vijf eenheden verwijderd van nul? Nou, negatieve vijf is. En alles verder langs de getallenlijn van negatief vijf zal nog verder van nul verwijderd zijn. Dus ons "iets" kan een negatief getal zijn dat verder weg is van nul dan negatief vijf. Dat betekent dat het een groter klinkend nummer zou zijn, maar technisch gezien minder dan negatieve vijf omdat deze in de negatieve richting op de getallenlijn beweegt.
Dus ons "iets", 5 + 5x, kan minder zijn dan −5.
5 + 5_x_ <−5
De snelle manier om dit algebraïsch te doen, is door de hoeveelheid aan de andere kant van de ongelijkheid 5 te vermenigvuldigen met negatieve, en vervolgens het ongelijkheidsteken om te draaien:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Los het vervolgens op zoals gewoonlijk.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (trek 5 van beide kanten af)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
X < −2.
Dus de twee mogelijke oplossingen voor de ongelijkheid zijn X > 0 of X <−2. Controleer jezelf door een paar mogelijke oplossingen aan te sluiten om ervoor te zorgen dat de ongelijkheid nog steeds bestaat.
Absolute waardeverschillen zonder oplossing
Er is een scenario waar er zou zijn geen oplossingen voor absolute ongelijkheid. Aangezien absolute waarden altijd positief zijn, kunnen ze niet gelijk zijn aan of kleiner zijn dan negatieve getallen.
Dus | X | <−2 heeft geen oplossing omdat de uitkomst van een absolute waarde-expressie positief moet zijn.
Interval notatie
Om de oplossing voor ons hoofdvoorbeeld in te schrijven interval notatie, denk na over hoe de oplossing eruit ziet op de getallenlijn. Onze oplossing was X > 0 of X <−2. Op een getallenlijn is dat een open punt op 0, met een lijn die zich uitstrekt tot positief oneindig, en een open punt op −2, met een lijn die zich uitstrekt tot negatief oneindig. Deze oplossingen wijzen van elkaar af, niet naar elkaar, dus neem elk stuk apart.
Voor x> 0 op een getallenlijn is er een open punt op nul en vervolgens een lijn die zich uitstrekt tot oneindig. In intervalnotatie wordt een open punt weergegeven met haakjes, (), en een gesloten punt, of ongelijkheden met ≥ of ≤, zouden haakjes gebruiken,. Dus voor X > 0, schrijven (0, ∞).
De andere helft, X <−2, op een getallenlijn staat een open punt op −2 en dan een pijl die zich helemaal tot − extending uitstrekt. In intervalnotatie is dat (−∞, −2).
"Of" in intervalnotatie is het unieteken, ∪.
Dus de oplossing in intervalnotatie is (−∞, −2) ∪ (0, ∞).