Inhoud
- Het derivaat als een helling
- Het afgeleide van een vermogensfunctie
- Afgeleide uit een Power-serie
- Derivaten uit tabellen
Een van de belangrijke bewerkingen die u in calculus uitvoert, is het vinden van derivaten. De afgeleide van een functie wordt ook de mate van verandering van die functie genoemd. Als bijvoorbeeld x (t) de positie van een auto is op elk tijdstip t, dan is de afgeleide van x, die wordt geschreven als dx / dt, de snelheid van de auto. Ook kan de afgeleide worden gevisualiseerd als de helling van een lijn die raakt aan de grafiek van een functie. Op theoretisch niveau vinden wiskundigen derivaten. In de praktijk gebruiken wiskundigen sets basisregels en opzoektabellen.
Het derivaat als een helling
De helling van een lijn tussen twee punten is de stijging of het verschil in y-waarden gedeeld door de run of het verschil in x-waarden. De helling van een functie y (x) voor een bepaalde waarde van x wordt gedefinieerd als de helling van een lijn die de functie op het punt raakt. Om de helling te berekenen, construeert u een lijn tussen het punt en een nabijgelegen punt, waarbij h een heel klein getal is. Voor deze regel is de run of verandering in x-waarde h en de stijging of verandering in y-waarde is y (x + h) - y (x). Bijgevolg is de helling van y (x) op het punt ongeveer gelijk aan / = / h. Om de helling exact te krijgen, berekent u de waarde van de helling naarmate h kleiner en kleiner wordt, tot de "limiet" waar deze naar nul gaat. De helling die op deze manier wordt berekend, is de afgeleide van y (x), die wordt geschreven als y '(x) of dy / dx.
Het afgeleide van een vermogensfunctie
U kunt de helling / limiet-methode gebruiken om de afgeleiden van functies te berekenen waarbij y gelijk is aan x met de macht van a, of y (x) = x ^ a. Als y bijvoorbeeld gelijk is aan x cubed, y (x) = x ^ 3, dan is dy / dx de limiet als h naar nul van / h gaat. Uitbreiden (x + h) ^ 3 geeft / h, wat vermindert tot 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 nadat u deelt door h. In de limiet als h naar nul gaat, gaan alle termen met h erin ook naar nul. Dus, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. U kunt dit doen voor waarden van een andere dan 3, en in het algemeen kunt u laten zien dat d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Afgeleide uit een Power-serie
Veel functies kunnen worden geschreven als een zogenaamde power-serie, die de som is van een oneindig aantal termen, waarbij elk van de vorm C (n) x ^ n is, waarbij x een variabele is, n een geheel getal is en C ( n) is een specifiek nummer voor elke waarde van n. De power-serie voor de sinusfunctie is bijvoorbeeld Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., waarbij "..." betekent dat de termen doorgaan op tot het oneindige. Als u de vermogensreeks voor een functie kent, kunt u de afgeleide van de macht x ^ n gebruiken om de afgeleide van de functie te berekenen. De afgeleide van Sin (x) is bijvoorbeeld gelijk aan 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., wat toevallig de vermogensreeks is voor Cos (x).
Derivaten uit tabellen
De afgeleiden van basisfuncties zoals machten zoals x ^ a, exponentiële functies, logfuncties en trig-functies, worden gevonden met behulp van de helling / limiet-methode, de power series-methode of andere methoden. Deze derivaten worden vervolgens in tabellen vermeld. Je kunt bijvoorbeeld opzoeken dat de afgeleide van Sin (x) Cos (x) is. Wanneer complexe functies combinaties van de basisfuncties zijn, hebt u speciale regels nodig, zoals de kettingregel en productregel, die ook in de tabellen worden gegeven. U gebruikt bijvoorbeeld de kettingregel om te bepalen dat de afgeleide van Sin (x ^ 2) 2xCos (x ^ 2) is. U gebruikt de productregel om te bepalen dat de afgeleide van xSin (x) xCos (x) + Sin (x) is. Met behulp van tabellen en eenvoudige regels kunt u de afgeleide van elke functie vinden. Maar wanneer een functie extreem complex is, nemen wetenschappers soms hun toevlucht tot computerprogramma's.