Inhoud
Projectiel beweging verwijst naar de beweging van een deeltje dat een beginsnelheid krijgt maar vervolgens geen andere krachten ondergaat dan de zwaartekracht.
Dit omvat problemen waarbij een deeltje onder een hoek tussen 0 en 90 graden ten opzichte van de horizontaal wordt geslingerd, waarbij de horizontale meestal de grond is. Voor het gemak worden deze projectielen verondersteld te reizen in de (x, y) vliegtuig, met X die horizontale verplaatsing vertegenwoordigen en Y verticale verplaatsing.
Het pad van een projectiel wordt het genoemd traject. (Merk op dat de gemeenschappelijke link in "projectiel" en "traject" het lettergreep "-uitwerp" is, het Latijnse woord voor "uitwerpen". Iemand uitwerpen is letterlijk hem eruit gooien.) Het punt van oorsprong van het projectiel in problemen waarin u voor de eenvoud meestal het traject moet berekenen (0, 0), tenzij anders vermeld.
Het traject van een projectiel is een parabool (of volgt ten minste een deel van een parabool) als het deeltje zodanig wordt gelanceerd dat het een niet-nul horizontale bewegingscomponent heeft en er geen luchtweerstand is om het deeltje te beïnvloeden.
De kinematische vergelijkingen
De variabelen die van belang zijn bij de beweging van een deeltje zijn de positiecoördinaten X en Y, zijn snelheid ven zijn versnelling een, alles in relatie tot een bepaalde verstreken tijd t sinds het begin van het probleem (wanneer het deeltje wordt gelanceerd of vrijgegeven). Merk op dat het weglaten van massa (m) impliceert dat zwaartekracht op aarde onafhankelijk van deze hoeveelheid werkt.
Merk ook op dat deze vergelijkingen de rol van luchtweerstand negeren, wat een weerstand creëert die tegengestelde beweging in echte aardse situaties veroorzaakt. Deze factor wordt geïntroduceerd in mechanica cursussen op een hoger niveau.
Variabelen met een subscript "0" verwijzen op elk moment naar de waarde van die hoeveelheid t = 0 en zijn constanten; vaak is deze waarde 0 dankzij het gekozen coördinatensysteem, en de vergelijking wordt zo veel eenvoudiger. Versnelling wordt in deze problemen als constant behandeld (en is in de y-richting en gelijk aan -g, of –9,8 m / s2, de versnelling als gevolg van de zwaartekracht nabij het aardoppervlak).
Horizontale beweging:
x = x0 + vX t
Verticale beweging:
Voorbeelden van projectielbeweging
De sleutel om problemen met baanberekeningen op te lossen, is weten dat de horizontale (x) en verticale (y) bewegingscomponenten afzonderlijk kunnen worden geanalyseerd, zoals hierboven weergegeven, en hun respectieve bijdragen aan de totale beweging netjes samengevat aan het einde van het probleem.
Projectielbewegingsproblemen gelden als vrije val, want hoe de dingen er ook na verloop van tijd uitzien t = 0, de enige kracht die op het bewegende object werkt, is de zwaartekracht.
Baanberekeningen
1. De snelste werpers in het honkbal kunnen een bal gooien met iets meer dan 100 mijl per uur, of 45 m / s. Als een bal met deze snelheid verticaal omhoog wordt gegooid, hoe hoog wordt deze en hoe lang duurt het dan om terug te keren naar het punt waarop hij werd losgelaten?
Hier vy0 = 45 m / s, -g = –9,8 m / s, en de hoeveelheden van belang zijn de ultieme hoogte, of y, en de totale tijd terug naar de aarde. De totale tijd is een tweedelige berekening: tijd tot y en tijd terug tot y0 = 0. Voor het eerste deel van het probleem, vY, wanneer de bal zijn piekhoogte bereikt, is 0.
Begin met de vergelijking vY2 = v0y2 - 2 g (j - j0) en de waarden die je hebt inpluggen:
0 = (45)2 - (2) (9.8) (y - 0) = 2.025 - 19.6y
y = 103,3 m
De vergelijking vY = v0y - gt laat zien dat de tijd t die dit duurt (45 / 9,8) = 4,6 seconden is. Om de totale tijd te krijgen, voegt u deze waarde toe aan de tijd die de bal nodig heeft om vrij naar het startpunt te vallen. Dit wordt gegeven door y = y0 + v0yt - (1/2) gt2 , waar nu, omdat de bal nog op het moment is voordat hij begint te dalen, v0y = 0.
Oplossen (103.3) = (1/2) gt2 want t geeft t = 4,59 seconden.
De totale tijd is dus 4,59 + 4,59 = 9,18 seconden. Het misschien verrassende resultaat dat elke "etappe" van de reis, op en neer, tegelijkertijd duurde, onderstreept het feit dat zwaartekracht de enige kracht is die hier speelt.
2. De bereikvergelijking: Wanneer een projectiel met een snelheid wordt gelanceerd v0 en een hoek θ van de horizontaal, het heeft initiële horizontale en verticale snelheidscomponenten v0x = v0(cos θ) en v0y = v0(zonde θ).
Omdat vY = v0y - gten vY = 0 wanneer het projectiel zijn maximale hoogte bereikt, wordt de tijd tot maximale hoogte gegeven door t = v0y/ G. Vanwege symmetrie, de tijd die nodig is om terug te keren naar de grond (of y = y0) is eenvoudig 2t = 2v0y/g.
Tot slot, deze te combineren met de relatie x = v0xt, de horizontale afgelegde afstand gegeven een lanceerhoek θ is
R (bereik) = 2 (v02zonde θ ⋅ cos θ / g) = v02(Sin2θ) / g
(De laatste stap komt van de trigonometrische identiteit 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Omdat sin2θ zijn maximale waarde van 1 heeft als θ = 45 graden, maximaliseert deze hoek de horizontale afstand voor een gegeven snelheid bij
R = v02/ G.