Inhoud
- TL; DR (te lang; niet gelezen)
- Wat is een complex getal?
- Basisregels voor algebra met complexe getallen
- Complexe getallen delen
- Vereenvoudiging van complexe nummers
Algebra omvat vaak vereenvoudigende uitdrukkingen, maar sommige uitdrukkingen zijn verwarrend om mee om te gaan dan andere. Complexe getallen hebben betrekking op de hoeveelheid die bekend staat als ik, een 'denkbeeldig' nummer bij de eigenschap ik = √ − 1. Als je simpelweg een uitdrukking met een complex getal moet gebruiken, lijkt het misschien ontmoedigend, maar het is een vrij eenvoudig proces als je eenmaal de basisregels kent.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Vereenvoudig complexe getallen door de regels van algebra met complexe getallen te volgen.
Wat is een complex getal?
Complexe getallen worden gedefinieerd door hun opname van de ik term, die de vierkantswortel van min één is. In de wiskunde op basisniveau bestaan vierkantswortels van negatieve getallen niet echt, maar ze verschijnen soms in algebra-problemen. De algemene vorm voor een complex nummer toont hun structuur:
z = een + bi
Waar z labelt het complexe nummer, een staat voor elk nummer (het "echte" deel genoemd), en b staat voor een ander getal (het 'denkbeeldige' deel), die beide positief of negatief kunnen zijn. Een voorbeeld van een complex getal is dus:
z = 2 −4_i_
Omdat alle vierkantswortels van negatieve getallen kunnen worden vertegenwoordigd door veelvouden van ik, dit is de vorm voor alle complexe getallen. Technisch gezien beschrijft een regulier nummer alleen een speciaal geval van een complex nummer waar b = 0, dus alle getallen kunnen als complex worden beschouwd.
Basisregels voor algebra met complexe getallen
Als u complexe getallen wilt optellen en aftrekken, voegt u eenvoudig de reële en denkbeeldige delen afzonderlijk toe of trekt u deze af. Dus voor complexe getallen z = 2 - 4_i_ en w = 3 + 5_i_, de som is:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)ik
= 5 + 1_i_ = 5 + ik
Het aftrekken van de getallen werkt op dezelfde manier:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)ik
= −1 - 9_i_
Vermenigvuldiging is een andere eenvoudige bewerking met complexe getallen, omdat het werkt als gewone vermenigvuldiging, behalve dat je dat moet onthouden ik2 = −1. Dus om 3_i_ × −4_i_ te berekenen:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Maar sinds ik2= −1, dan:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
Met volledige complexe getallen (gebruik z = 2 - 4_i_ en w = 3 + 5_i_ opnieuw), vermenigvuldig je ze op dezelfde manier als met gewone getallen zoals (een + b) (c + d), met behulp van de methode 'first, inner, outer, last' (FOIL) om (een + b) (c + d) = ac + bc + advertentie + bd. Het enige dat u hoeft te onthouden is om alle instanties van te vereenvoudigen ik2. Dus bijvoorbeeld:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Complexe getallen delen
Het delen van complexe getallen omvat het vermenigvuldigen van de teller en de noemer van de breuk met het complexe conjugaat van de noemer. Het complexe vervoeging betekent alleen de versie van het complexe getal met het denkbeeldige deel omgekeerd in teken. Dus voor z = 2 - 4_i_, het complexe conjugaat z = 2 + 4_i_, en voor w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Voor het probleem:
z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
Het benodigde conjugaat is w*. Deel de teller en noemer door dit om te geven:
z / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
En dan werk je door zoals in de vorige sectie. De teller geeft:
(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14 - 22_i_
En de noemer geeft:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
Dit betekent:
z / w = (−14 - 22_i_) / 34
= −14/34 - 22_i_ / 34
= −7/17 - 11_i_ / 17
Vereenvoudiging van complexe nummers
Gebruik de bovenstaande regels indien nodig om complexe uitdrukkingen te vereenvoudigen. Bijvoorbeeld:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - ik)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ik))
Dit kan worden vereenvoudigd door de optelregel in de teller, de vermenigvuldigingsregel in de noemer te gebruiken en vervolgens de deling te voltooien. Voor de teller:
(4 + 2_i_) + (2 - ik) = 6 + ik
Voor de noemer:
(2 + 2_i _) (2+ ik) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
Door deze weer op hun plaats te leggen, krijgt u:
z = (6 + ik) / (2 + 6_i_)
Beide delen vermenigvuldigen met het conjugaat van de noemer leidt tot:
z = (6 + ik) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
Dus dit betekent z vereenvoudigt als volgt:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - ik)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ik)) = 9/20 −17_i_ / 20