Inhoud
Zie het onder ogen: bewijzen zijn niet eenvoudig. En in de geometrie lijken dingen erger te worden, omdat je nu afbeeldingen in logische verklaringen moet veranderen en conclusies moet trekken op basis van eenvoudige tekeningen. De verschillende soorten bewijzen die je op school leert, kunnen in het begin overweldigend zijn. Maar als u elk type eenmaal begrijpt, zult u het veel gemakkelijker vinden om uw hoofd te omwikkelen wanneer en waarom u verschillende soorten proefdrukken in de geometrie gebruikt.
De pijl
Het directe bewijs werkt als een pijl. Je begint met de gegeven informatie en bouwt daarop voort, in de richting van de hypothese die je wilt bewijzen. Bij het gebruik van het directe bewijs gebruikt u conclusies, regels uit de geometrie, definities van geometrische vormen en wiskundige logica. Het directe bewijs is het meest standaard type bewijs en, voor veel studenten, de go-to-proof stijl voor het oplossen van een geometrisch probleem. Als u bijvoorbeeld weet dat punt C het middelpunt van de lijn AB is, kunt u bewijzen dat AC = CB door de definitie van het middelpunt te gebruiken: het punt dat op gelijke afstand van elk uiteinde van het lijnsegment valt. Dit werkt los van de definitie van het middelpunt en geldt als een direct bewijs.
De boemerang
Het indirecte bewijs is als een boemerang; hiermee kunt u het probleem omkeren. In plaats van alleen maar te werken aan de uitspraken en vormen die je krijgt, verander je het probleem door de bewering die je wilt bewijzen aan te nemen en aan te nemen dat het niet waar is. Van daaruit laat je zien dat het onmogelijk niet waar kan zijn, wat voldoende is om te bewijzen dat het waar is. Hoewel het verwarrend klinkt, kan het veel bewijzen vereenvoudigen die moeilijk te bewijzen zijn door een direct bewijs. Stel je bijvoorbeeld voor dat je een horizontale lijn AC hebt die door punt B gaat, en op punt B is een lijn loodrecht op AC met eindpunt D, lijn BD genoemd. Als u wilt bewijzen dat de hoekmaat ABD 90 graden is, kunt u beginnen met te overwegen wat het zou betekenen als de maat ABD niet 90 graden zou zijn. Dit zou u tot twee onmogelijke conclusies leiden: AC en BD staan niet loodrecht en AC is geen lijn. Maar beide waren feiten die in het probleem worden genoemd, wat tegenstrijdig is. Dit is genoeg om te bewijzen dat ABD 90 graden is.
Het lanceerplatform
Soms stuit u op een probleem dat u vraagt om te bewijzen dat iets niet waar is. In een dergelijk geval kunt u het lanceerplatform gebruiken om uzelf van het probleem te ontdoen, in plaats daarvan een tegenvoorbeeld geven om te laten zien dat iets niet waar is. Wanneer u een tegenvoorbeeld gebruikt, hebt u slechts één goed tegenvoorbeeld nodig om uw punt te bewijzen, en het bewijs is geldig. Als u bijvoorbeeld de stelling 'Alle trapezoïden zijn parallellogrammen' moet valideren of ongeldig maken, hoeft u slechts één voorbeeld van een trapezoïde aan te geven die geen parallellogram is. Je zou dit kunnen doen door een trapezium te tekenen met slechts twee evenwijdige zijden. Het bestaan van de vorm die je zojuist hebt getekend, weerlegt de stelling "Alle trapezoïden zijn parallellogrammen."
Het stroomdiagram
Net zoals geometrie een visuele wiskunde is, is het stroomdiagram of stroombewijs een visueel type bewijs. In een flow proof begin je door alle informatie die je kent naast elkaar op te schrijven of te tekenen. Maak vanaf hier conclusies en schrijf ze op de onderstaande regel. Door dit te doen, stapelt u uw informatie op en maakt u zoiets als een omgekeerde piramide. Je gebruikt de informatie die je nodig hebt om meer conclusies te trekken op de onderstaande regels tot je onderaan komt, een enkele verklaring die het probleem bewijst. U kunt bijvoorbeeld een lijn L hebben die punt P van de lijn MN doorkruist, en de vraag vraagt u om MP = PN te bewijzen, gegeven dat L MN in tweeën deelt. Je zou kunnen beginnen door de gegeven informatie te schrijven en bovenaan "L bisects MN at P" te schrijven. Schrijf eronder de informatie die volgt uit de gegeven informatie: Bisecties produceren twee congruente segmenten van een lijn. Schrijf naast deze verklaring een geometrisch feit dat u helpt het bewijs te krijgen; voor dit probleem helpt het feit dat congruente lijnsegmenten even lang zijn. Schrijf dat op. Onder deze twee stukjes informatie kun je de conclusie schrijven, die vanzelfsprekend volgt: MP = PN.