Inhoud
In de wiskunde is een reeks een reeks getallen die in oplopende of aflopende volgorde zijn gerangschikt. Een reeks wordt een geometrische reeks wanneer u elk nummer kunt verkrijgen door het vorige nummer met een gemeenschappelijke factor te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld de serie 1, 2, 4, 8, 16. . . is een geometrische reeks met de gemeenschappelijke factor 2. Als je een willekeurig getal in de reeks met 2 vermenigvuldigt, krijg je het volgende getal. Daarentegen is de reeks 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . is niet geometrisch omdat er geen gemeenschappelijke factor tussen getallen is. Een geometrische reeks kan een fractionele gemeenschappelijke factor hebben, in welk geval elk opeenvolgend getal kleiner is dan het voorafgaande. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . is een voorbeeld. De gemeenschappelijke factor is 1/2.
Het feit dat een geometrische reeks een gemeenschappelijke factor heeft, stelt u in staat om twee dingen te doen. De eerste is het berekenen van elk willekeurig element in de reeks (die wiskundigen het "nde" element noemen), en de tweede is het vinden van de som van de geometrische reeks tot het nde element. Wanneer u de reeks optelt door een plusteken tussen elk paar termen te plaatsen, verandert u de reeks in een geometrische reeks.
Het nde element vinden in een geometrische serie
Over het algemeen kunt u elke geometrische reeks op de volgende manier weergeven:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 . . .
waarbij "a" de eerste term in de reeks is en "r" de gemeenschappelijke factor is. Overweeg om dit te controleren de reeks waarin a = 1 en r = 2. Je krijgt 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . het werkt!
Nadat dit is vastgesteld, is het nu mogelijk om een formule af te leiden voor de nde term in de reeks (xn).
Xn = ar(N-1)
De exponent is n - 1 in plaats van n, zodat de eerste term in de reeks als ar kan worden geschreven0, wat gelijk is aan "a."
Controleer dit door de 4e term in de voorbeeldreeks te berekenen.
X4 = (1) • 23 = 8.
De som van een geometrische reeks berekenen
Als u een afwijkende reeks wilt optellen, een reeks met een gemeenschappelijk rantsoen groter dan 1 of kleiner dan -1, kunt u dit alleen doen tot een eindig aantal termen. Het is echter mogelijk om de som te berekenen van een oneindige convergente reeks, die er een is met een gemeenschappelijke verhouding tussen 1 en -1.
Om de geometrische somformule te ontwikkelen, begin je te overwegen wat je doet. U bent op zoek naar het totaal van de volgende reeks toevoegingen:
a + ar + ar2 + ar3 +. . . ar(N-1)
Elke term in de serie is arken k gaat van 0 naar n-1. De formule voor de som van de reeks maakt gebruik van het hoofdsigma-teken - ∑ - wat betekent dat alle termen van (k = 0) tot (k = n - 1) worden opgeteld.
Σark = a
Om dit te controleren, overweeg de som van de eerste 4 termen van de geometrische reeks beginnend bij 1 en met een gemeenschappelijke factor van 2. In de bovenstaande formule, a = 1, r = 2 en n = 4. Als u deze waarden aansluit, kunt u krijgen:
1 • = 15
Dit is eenvoudig te verifiëren door zelf de nummers in de reeks toe te voegen. In feite, wanneer u de som van een geometrische reeks nodig hebt, is het meestal gemakkelijker om de getallen zelf toe te voegen wanneer er slechts een paar termen zijn. Als de serie echter een groot aantal termen heeft, is het veel gemakkelijker om de geometrische somformule te gebruiken.