Inhoud
Soms is "exponentiële groei" slechts een spraakfiguur, een verwijzing naar alles wat onredelijk of ongelooflijk snel groeit. Maar in bepaalde gevallen kun je het idee van exponentiële groei letterlijk nemen. Een populatie konijnen kan bijvoorbeeld exponentieel groeien als elke generatie prolifereert, vervolgens hun nakomelingen prolifereren, enzovoort. Zakelijk of persoonlijk inkomen kan exponentieel groeien. Wanneer u wordt gevraagd om real-world berekeningen van exponentiële groei te maken, werkt u met drie stukjes informatie: startwaarde, groeisnelheid (of verval) en tijd.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Gebruik de formule om de exponentiële groei te berekenen Y(t) = a__ekt, waar een is de waarde aan het begin, k is de snelheid van groei of verval, t is tijd en Y(t) is de populatiewaarde op het moment t.
Hoe exponentiële groeicijfers te berekenen
Stel je voor dat een wetenschapper de groei van een nieuwe bacteriesoort bestudeert. Hoewel hij de waarden van startkwantiteit, groeisnelheid en tijd in een rekenmachine voor de groei van de bevolking kon invoeren, besloot hij om de groeisnelheid van de bacteriën handmatig te berekenen.
Terugkijkend op zijn nauwkeurige verslagen, ziet de wetenschapper dat zijn startpopulatie 50 bacteriën was. Vijf uur later mat hij 550 bacteriën.
De informatie van wetenschappers invoeren in de vergelijking voor exponentiële groei of verval, Y(t) = a__ekt, hij heeft:
550 = 50_ek_5
Het enige onbekende dat overblijft in de vergelijking is k, of de snelheid van exponentiële groei.
Om op te lossen voor k, deel eerst beide zijden van de vergelijking door 50. Dit geeft u:
550/50 = (50_ek_5) / 50, wat vereenvoudigt om:
11 = e_k_5
Neem vervolgens de natuurlijke logaritme van beide kanten, die wordt genoteerd als ln (X). Dit geeft u:
ln (11) = ln (e_k_5)
De natuurlijke logaritme is de inverse functie van eX, dus "maakt" het effectief ongedaan eX functie aan de rechterkant van de vergelijking, waardoor u achterblijft met:
ln (11) = _k_5
Deel vervolgens beide zijden door 5 om de variabele te isoleren, wat u het volgende geeft:
k = ln (11) / 5
U kent nu de snelheid van exponentiële groei voor deze populatie bacteriën: k = ln (11) / 5. Als je verdere berekeningen met deze populatie gaat doen, bijvoorbeeld de groeisnelheid in de vergelijking stoppen en de populatiegrootte schatten op t = 10 uur - het is het beste om het antwoord in deze vorm achter te laten. Maar als u geen verdere berekeningen uitvoert, kunt u die waarde invoeren in een exponentiële functiecalculator - of uw wetenschappelijke calculator - om een geschatte waarde van 0,479579 te krijgen. Afhankelijk van de exacte parameters van uw experiment, kunt u dat voor het gemak van berekening of notatie op 0,48 / uur afronden.