Hoe CG te berekenen

Inhoud

• Hoe te schrijven over zwaartepunt
• Hoe CG van een driehoek te berekenen
• Zwaartepuntformule voor een rechthoek
• The Centre of Gravity Equation
• Trucs voor het vinden van het zwaartepunt

Laten we, voordat we het zwaartepunt bespreken, een paar parameters aannemen. Eén, dat je te maken hebt met een object dat zich op het aardoppervlak bevindt, niet ergens in de ruimte. En twee, dat het object redelijk klein is - zeg, geen ruimteschip dat op aarde geparkeerd staat te wachten om op te stijgen.Zodra al die buitenaardse invloeden zijn geëlimineerd, bevindt u zich in een prima positie om het zwaartepunt voor geometrische objecten te berekenen met behulp van een relatief eenvoudige formule - en in feite, vanwege die net ingestelde voorwaarden, gebruikt u dezelfde formule om het zwaartepunt te vinden als om het centrum van massa te vinden.

Hoe te schrijven over zwaartepunt

Zwaartepunt in een tweedimensionaal vlak wordt meestal aangegeven door de coördinaten (x_cg, y_cg) of soms door de variabelen X en Y met een balk eroverheen. Ook wordt de term "zwaartepunt" soms afgekort tot cg.

Hoe CG van een driehoek te berekenen

Je wiskunde- of natuurkundeboek bevat vaak grafieken om het evenwichtscentrum van bepaalde cijfers te bepalen. Maar voor sommige veel voorkomende geometrische vormen, kunt u de juiste zwaartepuntformule gebruiken om dat zwaartepunt van de vorm te vinden.

Voor driehoeken bevindt het zwaartepunt zich op het punt waar alle drie de media elkaar kruisen. Als je begint bij een hoekpunt van de driehoek en dan een rechte lijn trekt naar het middelpunt van de andere kant, is dat een mediaan. Doe hetzelfde voor de andere twee hoekpunten, en het punt waar alle drie de media elkaar kruisen is het driehoekige zwaartepunt.

En daar is natuurlijk een formule voor. Als de coördinaten van het driehoekige zwaartepunt zijn (x_cg, y_cg), vindt u de coördinaten aldus:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

Y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Waar (x₁, y₁), (x₂, y₂) en (x₃, y₃) zijn de coördinaten van de driehoeken drie hoekpunten. U kunt kiezen welk hoekpunt welk nummer krijgt toegewezen.

Zwaartepuntformule voor een rechthoek

Is het je opgevallen dat om het zwaartepunt voor een driehoek te vinden, je gewoon de waarde van de x-coördinaten gemiddeld hebt, dan de gemiddelde waarde van de y-coördinaten, en de twee resultaten gebruikt als de coördinaten voor je zwaartepunt?

Om het zwaartepunt van een rechthoek te vinden, doe je precies hetzelfde. Maar om uw berekeningen nog eenvoudiger te maken, neemt u aan dat de rechthoek haaks op een Cartesiaans coördinaatvlak staat (dus niet onder een hoek staat) en dat het hoekpunt linksonder aan de oorsprong van de grafiek staat. In dat geval vindt u (x_cg, y_cg) voor een rechthoek is het enige dat u moet berekenen:

X_cg = breedte ÷ 2

Y_cg = hoogte ÷ 2

Als u uw rechthoek niet naar de oorsprong van het coördinaatvlak wilt verplaatsen of als het om welke reden dan ook niet precies vierkant is met de coördinaatassen, kunt u deze ietwat enger ogende, maar toch effectieve formule tegenkomen die alle x-coördinaten gemiddeld maakt om de waarde van x te vinden_cg, en gemiddelde van alle y-coördinaten om de waarde van y te vinden_cg:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

Y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

The Centre of Gravity Equation

Wat als je het zwaartepunt moet berekenen voor een vorm die aan alle hierboven genoemde aannames voldoet (in feite probeer je geen letterlijke raketwetenschap te doen door het zwaartepunt voor objecten in de ruimte te vinden), maar het valt niet in een van de zojuist genoemde categorieën of in de grafieken achter in uw boek? Vervolgens kunt u uw vorm onderverdelen in meer bekende vormen en de volgende vergelijkingen gebruiken om hun collectieve zwaartepunt te vinden:

X_cg = (a₁X₁ + a₂X₂ +. . . + a_nX_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

Y_cg = (a₁Y₁ + a₂Y₂ +. . . + a_nY_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

Of anders gezegd, x_cg is gelijk aan het gebied van sectie 1 maal de locatie op de x-as, toegevoegd aan het gebied van sectie 2 keer de locatie, en zo verder totdat u de gebied maal locatie van alle secties hebt opgeteld; deel vervolgens dat volledige bedrag door het totale gebied van alle secties. Doe dan hetzelfde voor y.

Vraag: Hoe vind ik het gebied van elke sectie? Door uw complexe of onregelmatige vorm in meer bekende polygonen te verdelen, kunt u gestandaardiseerde formules gebruiken om een ​​gebied te vinden. Als u die vorm bijvoorbeeld in rechthoekige stukken hebt verdeeld, kunt u de formule lengte x breedte gebruiken om het gebied van elk stuk te vinden.

Vraag: Wat is de "locatie" van elke sectie? De locatie van elke sectie is de juiste coördinaat vanuit het zwaartepunt van die sectie. Dus als je y wilt₂ (de locatie voor segment 2), moet u eigenlijk de y-coördinaat opgeven voor het zwaartepunt van die segmenten. Nogmaals, dit is de reden waarom u een vreemd gevormd object onderverdeelt in meer bekende vormen, omdat u de reeds besproken formules kunt gebruiken om het zwaartepunt van elke vorm te vinden en vervolgens de juiste coördinaat (en) te extraheren.

Vraag: Waar komt mijn vorm op het coördinatenvlak? U kunt kiezen waar uw vorm op het coördinatenvlak ligt - houd er rekening mee dat uw zwaartepunt van de antwoorden in relatie staat tot hetzelfde referentiepunt. Het is het eenvoudigst om uw object in het eerste kwadrant van uw grafiek te plaatsen, met de onderrand tegen de x-as en de linkerrand tegen de y-as zodat alle x- en y-waarden positief zijn, maar ook klein genoeg om te zijn beheersbaar.

Trucs voor het vinden van het zwaartepunt

Als je te maken hebt met een enkel object, zijn intuïtie en een beetje logica soms alles wat je nodig hebt om het zwaartepunt te vinden. Als u bijvoorbeeld een platte schijf overweegt, is het zwaartepunt het midden van de schijf. In een cilinder is dit het middelpunt op de as van de cilinder. Voor een rechthoek (of vierkant) is dit het punt waar de diagonale lijnen samenkomen.

Je hebt hier misschien een patroon opgemerkt: als het object in kwestie een lijn van symmetrie heeft, bevindt het zwaartepunt zich op die lijn. En als het meerdere symmetrieassen heeft, zal het zwaartepunt zijn waar die assen elkaar kruisen.

Tot slot, als u het zwaartepunt voor een echt complex object probeert te vinden, hebt u twee opties: Ofwel uw beste calculusintegralen wegwerken (zie Bronnen voor een drievoudige integraal die het zwaartepunt voor een niet-uniforme massa vertegenwoordigt) of voer uw gegevens in in een speciaal gebouwde zwaartepuntcalculator. (Zie bronnen voor een voorbeeld van een zwaartepuntcalculator voor radiogestuurde vliegtuigen.)