Hoe het gebied van een 12-zijdige veelhoek te vinden

Inhoud

• Het gebied van een regelmatige 12-zijdige veelhoek berekenen
• Het gebied van een onregelmatige dodecagon vinden

Een polygoon is een gesloten tweedimensionale figuur met 3 of meer rechte (niet-gebogen) zijden, en een 12-zijdige polygoon staat bekend als een dodecagon. Een regelmatige dodecagon is er een met gelijke zijden en hoeken, en het is mogelijk om een ​​formule af te leiden voor het berekenen van het gebied. Een onregelmatige dodecagon heeft zijden van verschillende lengtes en verschillende hoeken. Een zespuntige ster is een voorbeeld. Er is geen gemakkelijke manier om het gebied van een onregelmatige 12-zijdige figuur te berekenen, tenzij je het in een grafiek hebt uitgezet en de coördinaten van elk van de hoekpunten kunt lezen. Als dit niet het geval is, is de beste strategie om het figuur in regelmatige vormen te verdelen waarvoor u het gebied kunt berekenen.

Het gebied van een regelmatige 12-zijdige veelhoek berekenen

Om het gebied van een regelmatige dodecagon te berekenen, moet je het midden vinden, en de beste manier om dat te doen, is een cirkel er omheen te schrijven die net elk van zijn hoekpunten raakt. Het middelpunt van de cirkel is het middelpunt van de dodecagon, en de afstand van het middelpunt van de figuur tot elk van zijn hoekpunten is eenvoudig de straal van de cirkel (r). Elk van de 12 zijden van de figuur is even lang, dus duid dit aan met s.

U hebt nog een meting nodig, en dat is de lengte van een loodrechte lijn getrokken vanaf het middelpunt van elke zijde naar het midden van de 12-zijdige vorm. Deze regel staat bekend als het apothema. Geef de lengte aan door m. Het verdeelt elke sectie gevormd door de straallijnen in twee rechthoekige driehoeken. Je weet het niet m, maar je kunt het vinden met behulp van de stelling van Pythagoras.

De 12 radiuslijnen verdelen de cirkel die je rond de dodecagon hebt geschreven in 12 gelijke secties, dus in het midden van de figuur is de hoek die elke lijn maakt met de ernaast 30 graden. Elk van de 12 secties gevormd door de straallijnen bestaat uit een paar rechthoekige driehoeken met hypotenusa r en een hoek van 15 graden. De zijde grenzend aan de hoek is m, dus je kunt het vinden met behulp van r en de sinus van de hoek.

sin (15) = m/ren oplossen voor m

m = r × sin (15)

Je kunt nu het gebied van elk van de gelijkbenige driehoeken vinden die in de dodecagon zijn ingeschreven, omdat je de lengte van de basis kent - dat is s - en de hoogte, m. Het gebied van elke driehoek is 1/2 × basis × hoogte

= 1/2 × s × m

= 1/2 × (s × r × sin (15))

Er zijn 12 van dergelijke secties, dus vermenigvuldig met 12 om het totale oppervlak van de reguliere 12-zijdige vorm te vinden:

Gebied van regelmatige dodecagon = 6 × (s × r × sin (15))

Het gebied van een onregelmatige dodecagon vinden

Er is geen formule om het gebied van een onregelmatige dodecagon te vinden, omdat de lengte van de zijkanten en de hoeken niet hetzelfde zijn. Het is zelfs moeilijk om het midden te lokaliseren. De beste strategie is om het figuur in regelmatige vormen te verdelen, het gebied van elke vorm te berekenen en ze toe te voegen.

Als de vorm in een grafiek wordt uitgezet en u de coördinaten van de hoekpunten kent, is er een formule die u kunt gebruiken om het gebied te berekenen. Als elk punt (n) wordt gedefinieerd door (X_n, Y_n), en je gaat rond het cijfer in volgorde, met de klok mee of tegen de klok in, om een ​​reeks van 12 punten te krijgen, het gebied is:

Gebied = | (X₁Y₂ − Y₁X₂) + (X₂Y₃ − Y₂X₃) ... + (X₁₁Y₁₂ − Y₁₁X₁₂) +(X₁₂Y₁ − Y₁₂X₁)| ÷ 2.