Fractionele exponenten: regels voor vermenigvuldigen en delen

Inhoud

• TL; DR (te lang; niet gelezen)
• Wat zijn fractionele exponenten?
• Regels voor breuk Exponent: vermenigvuldiging van fractionele exponenten met dezelfde basis
• Regels voor breukexponenten: fractionele exponenten delen met dezelfde basis
• Vermenigvuldigen en delen van fractionele exponenten in verschillende bases

Leren omgaan met exponenten is een integraal onderdeel van elk wiskundeonderwijs, maar gelukkig komen de regels voor het vermenigvuldigen en delen ervan overeen met de regels voor niet-fractionele exponenten. De eerste stap om te begrijpen hoe je met fractionele exponenten moet omgaan, is een overzicht krijgen van wat ze precies zijn, en dan kun je kijken naar de manieren waarop je exponenten kunt combineren wanneer ze worden vermenigvuldigd of gedeeld en ze dezelfde basis hebben. Kort gezegd, je voegt de exponenten bij elkaar toe bij het vermenigvuldigen en trekt de ene van de andere af bij het delen, op voorwaarde dat ze dezelfde basis hebben.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Vermenigvuldig termen met exponenten met behulp van de algemene regel:

X^een + X^b = X^{(een + b)}

En deel termen met exponenten met behulp van de regel:

X^een ÷ X^b = X^{(een – b)}

Deze regels werken met elke expressie in plaats van een en b, zelfs breuken.

Wat zijn fractionele exponenten?

Fractionele exponenten bieden een compacte en nuttige manier om vierkante, kubusvormige en hogere wortels uit te drukken. De noemer op de exponent vertelt u welke root van het 'basis'-nummer de term vertegenwoordigt. In een term als X^een, je belt X de basis en een de exponent. Dus een fractionele exponent vertelt je:

X^1/2 = √X

De noemer van twee op de exponent vertelt u dat u de vierkantswortel van neemt X in deze uitdrukking. Dezelfde basisregel is van toepassing op hogere wortels:

X^1/3 = ∛X

En

X^1/4 = ⁴√x

Dit patroon gaat door. Voor een concreet voorbeeld:

9^1/2 = √9 = 3

En

8^1/3 = ∛8 = 2

Regels voor breuk Exponent: vermenigvuldiging van fractionele exponenten met dezelfde basis

Vermenigvuldig termen met fractionele exponenten (mits ze dezelfde basis hebben) door de exponenten bij elkaar op te tellen. Bijvoorbeeld:

X^1/3 × X^1/3 × X^1/3 = X ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= X¹ = X

Sinds X^1/3 betekent "de kubuswortel van X, 'Is het volkomen logisch dat dit tweemaal vermenigvuldigd met zichzelf het resultaat geeft X. Je kunt ook voorbeelden tegenkomen zoals X^1/3 × X^1/3, maar je gaat hier op precies dezelfde manier mee om:

X^1/3 × X^1/3 = X ^{(1/3 + 1/3)}

= X^2/3

Het feit dat de uitdrukking aan het einde nog steeds een fractionele exponent is, maakt geen verschil uit voor het proces. Dit kan worden vereenvoudigd als u dat opmerkt X^2/3 = (X^1/3)² = ∛X². Met zo'n uitdrukking maakt het niet uit of je eerst de wortel of de kracht neemt. Dit voorbeeld illustreert hoe u deze kunt berekenen:

8^1/3 + 8^1/3 = 8^2/3

= ∛8²

Omdat de kubuswortel van 8 eenvoudig uit te werken is, moet je dit als volgt aanpakken:

∛8² = 2² = 4

Dit betekent dus:

8^1/3 + 8^1/3 = 4

U kunt ook producten tegenkomen van fractionele exponenten met verschillende getallen in de noemers van de breuken, en u kunt deze exponenten op dezelfde manier toevoegen als andere breuken. Bijvoorbeeld:

X^1/4 × X^1/2 = X^{(1/4 + 1/2)}

= X^{(1/4 + 2/4)}

= X^3/4

Dit zijn allemaal specifieke uitdrukkingen van de algemene regel voor het vermenigvuldigen van twee uitdrukkingen met exponenten:

X^een + X^b = X^{(een + b)}

Regels voor breukexponenten: fractionele exponenten delen met dezelfde basis

Pak delingen van twee getallen met fractionele exponenten aan door de exponent die je deelt (de deler) af te trekken door degene die je deelt (het dividend). Bijvoorbeeld:

X^1/2 ÷ X^1/2 = X^{(1/2 – 1/2)}

= X⁰ = 1

Dit is logisch, omdat elk getal dat op zichzelf wordt gedeeld gelijk is aan één, en dit komt overeen met het standaardresultaat dat elk getal dat wordt verhoogd tot een macht gelijk is aan één. Het volgende voorbeeld gebruikt getallen als basen en verschillende exponenten:

16^1/2 ÷ 16^1/4 = 16^{(1/2 – 1/4)}

= 16^{(2/4 – 1/4)}

= 16^1/4

= 2

Dat kun je ook zien als je dat opmerkt 16^1/2 = 4 en 16^1/4 = 2.

Net als bij vermenigvuldiging, kunt u ook eindigen met fractionele exponenten met een ander nummer dan een in de teller, maar u behandelt deze op dezelfde manier.

Deze drukken eenvoudig de algemene regel uit voor het verdelen van exponenten:

X^een ÷ X^b = X^{(een – b)}

Vermenigvuldigen en delen van fractionele exponenten in verschillende bases

Als de bases op de voorwaarden verschillen, is er geen gemakkelijke manier om exponenten te vermenigvuldigen of te delen. Bereken in deze gevallen eenvoudig de waarde van de afzonderlijke termen en voer vervolgens de vereiste bewerking uit. De enige uitzondering is als de exponent hetzelfde is, in welk geval u ze als volgt kunt vermenigvuldigen of delen:

X⁴ × Y⁴ = (xy)⁴

X⁴ ÷ Y⁴ = (x ÷ y)⁴